Riemannsumme

29.11.2009, 15:49	NGL	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemannsumme Hallo Hab da eine Aufgabe, bei der ich nicht genau weiss, wie vorgehen. Hab die Aufgabe als datei angehängt, da ich das mit latex nicht hinkriege. Den Induktionsbeweis hab ich bereits gefürht. Nur was brint mir das für diese Aufgabe? Was ich bereits habe: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{3}~x^3~dx = \frac{81}{4} \end{eqnarray}$ Vorweg: über dem Summenzeichen steht nicht n, sondern 2^n, kriege das aber nicht hin mit latex. $\begin{eqnarray} Untere~Summe= \sum_{k=1}^n~\frac{3}{2^n}~ inf~ f(x) = \sum_{k=1}^n~\frac{3}{2^n}(\frac{3}{2^n}(k-1) )^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{k=1}^n~81(k-1)^3(\frac{1}{16} )^n) =81\sum_{k=1}^n~(k-1)^3(\frac{1}{16} )^n) \end{eqnarray}$ Wie mache ich aber nun weiter, das ist mein Problem. Wenn ich nun den Grenzwert berechne, dann hab ich doch: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } 81\sum_{k=1}^n~(k-1)^3(\frac{1}{16} )^n) \end{eqnarray}$ Und das gibt doch 0. Also kann irgendetwas nicht stimmen, oder etwas ging unter. Ein Bisschen Hilfe wäre super. Danke Ich denke für die Obere Riemannsumme geht das dann analog.
29.11.2009, 16:11	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist etwas verwirrend, daß in der Aufgabe überall $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ steht. Du kannst das an jeder Stelle durch $\begin{eqnarray} m = 2^n \end{eqnarray}$ ersetzen, dann wird es schon einmal übersichtlicher. Und wie kommst du darauf, daß der Grenzwert 0 ist? Beachte das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ bei der oberen Summationsgrenze. Mit wachsendem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ steigt also die Anzahl der Summanden. Da ist ein gliedweiser Grenzübergang verboten.
29.11.2009, 16:31	NGL	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Klar gibt es nicht 0, denn man soll ja berechenen, gegen welche Wert diese Summe strebt, wenn man n gegen unendlich streben lässt(hab ich zu schnell und falsch überlegt). Nur wie macht man das? Geht das nur mit dem $\begin{eqnarray} \epsilon-Kriterium \end{eqnarray}$ , oder gibt es da noch andere Möglichkeiten?
29.11.2009, 17:27	NGL	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab es mal umgeformt: (das n über der Summe steht für 2^n) $\begin{eqnarray} 81\lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^n~\frac{k^3}{2^{n^4} } -\frac{3k^2}{2^{n^4}} +\frac{3k}{2^{n^4}}-\frac{1}{2^{n^4}} \end{eqnarray*}$ Nur wie berechne ich hier den Grenzwert?

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