zweiten Fundamentalform

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hhuu Auf diesen Beitrag antworten »
zweiten Fundamentalform
Hallo
ich habe dieses Thema nicht verstehen,was bedeutet Zweiten Fundamentalform in geometrie??
und kann man in diese Frage mir helfen?
Die Frage besagt:
seinen offen ,eine parametriesierte Fläche ,eine orientierungserhaltende Parametertransformation und eine eigentliche Bewegung des .Zeigen Sie:
a) Zwischen der zweiten Fundamentalform vonund der zwischen Fundamentalform der umparametrisierten Fläche besteht folgende Beziehungen :
Für alle
und alle ist

:
b) Ist det ,so gilt zwischen der Normalen von und der Normalen von die Beziehung .
c) Für alle ist
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sage Dir mal, was die 2.Fundamentalform geometrisch bedeutet:

Wenn Du mit verbundenen Augen im Auto durch ein Gebirge fährst, wirken verschiedene Kräfte auf deinen Körper:

(1) Bei Kurvenfahrt wirkt eine Zentrifugalkraft vom Kurvenzentrum weg
(2) Bei Fahrt durch ein Tal (über einen Berg) wird man nach unten in den Sitz (nach oben aus dem Sitz) gedrückt.
(3) Bei Geschwindigkeitszunahme (-abnahme) wird man durch die Trägheit in die Rückenlehne gepresst (nach vorn gedrückt).

Die Kraft Nr. 3 tritt nicht auf, wenn die Geschwindigkeit konstanten Betrag hat, also |v|=constant. Die Kräfte Nr.1+2 sind allein eine Folge der "Form des Gebirges", also der Form der gekrümmten Fläche. Wichtig ist also folgendes: Wenn das Auto mit konstanter Geschwindigkeit fährt, kannst du trotz der verbundenen Augen anhand der Kräfte Nr. 1+2 gewisse Rückschlüsse die Form der Fläche ziehen.

Aus der Physik weiß man, dass die Kraft auf deinen Körper während der Fahrt gleich "Masse mal Beschleunigung" ist, also . Der Einfachheit halber setzen wir Deine Masse m=1 und haben die Kraft . Diese Kraft kann man zerlegen in einen tangentialen und einen normalen Anteil.



Ich wiederhole: Beide Anteile sind allein eine Folge der Flächenkrümmung und der Art des Weges (Rechts- und Linkskurven usw.)!!! Als zweite Fundamentalform (oder zweite Grundform) bezeichnet man einen mathematischen Ausdruck, der gerade den Betrag des Normalanteils darstellt, also desjenige Kraftanteils, der Dich während der Fahrt senkrecht nach unten in den Sitz hineidrückt (oder heraushebt). Den mathematischen Ausdruck dafür kann man durch ganz einfache Überlegungen herleiten. Sieh mal unter WIKIPEDIA bei "Zweite Fundamentalform" nach oder in guten Geometriebüchern. Löse Dich zu Beginn von der abstrakten Darstellungsweise und versuche, anschaulich zu vestehen, was gemeint ist. Bei der Flächentheorie ist alles anschaulich erklärbar.

Aufrund dieser "physikalischen" Definition ist klar, dass diese zweite Fundamentalform unabhängig davon ist, wie die Fläche parametrisiert wurde.
hhuu Auf diesen Beitrag antworten »

danke Ehos, du hast mir gut erklärt
hhuu Auf diesen Beitrag antworten »

Aber bitte ,wie ist die Lösung ??? oder eine Idee unglücklich
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zeige mal Aufgabe a)

Du sollst zeigen, dass die zweite Fundamentalform unabhängig von der Wahl der Flächenparameter ist. Ich hatte erklärt, dass die Zweite Fundamentalform aus physikalischer Sicht die Trägheitskarft ist, die Dich bei der "Fahrt durch's Gebirge" senkrecht nach unten in den Sitz presst. Deshalb ist anschaulich klar, dass diese Kraft nicht davon abhängen kann, wie man die Fläche parametrisiert.

Ich beweise das mal formal: Gegeben sei eine Fläche mit der Parameterdarstellung



Dies kann z.B. eine Kugeloberfläche sein, wobei die Parameter u,v der Längen- und Breitengrad sind, also die Winkel phi und theta. Angenommen innerhalb auf der Kugeloberfläche bewegt sich ein Punkt auf folgender gegebenen Flächenkurve



Zum Beispiel werden die Wege von Schiffen auf der gekrümmten Erdoberfläche auf diese Art dargestellt. Die Zweite Grundform für eine spezielle Flächenkurve lautet



Wie gesagt ist dies die Projektion der Trägheitskraft in Richtung Flächennormale. Zu zeigen ist, dass dieser Ausdruck nicht von der Wahl der Flächenparameter u,v abhängt. Wir stellen die 2x2-Matrix besser als Matrixprodukt dar



Nun gehen wir zu neuen Flächenparametern über. Die Abhängigkeit der neuen Flächenparameter von den alten möge lauten




Mittels Kettenregel ist







Dies setzen wir oben ein. Dann fallen die Jacobi-Matrizen heraus und wir erhalten einen entsprechenden Ausdruck wie oben - aber mit gestrichenen Parametern u', v'.



Damit ist der Beweis erbracht, denn dieser Ausdruck ist identisch wie oben. Der ganze Beweis beruht also nur auf der Anwendung der Kettenregel für Funktionen mit 2 Variablen.
hhuu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr
ich habe verstehen ,was zweite Fundamentalform bedeutet
und ich versuche diese Frage zu antworten
 
 
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