unabhängige Zufallsvariablen und Verteilungsfunktion

29.11.2009, 19:01

Posty

unabhängige Zufallsvariablen und Verteilungsfunktion

Hallo ihr,

ich hab eine tolle Aufgabe und auch eine Lösungsidee. Ich wüde dazu gerne mal einen Kommentar in Richtung " klingt logisch, könnte gehen" oder "ne du denkst falsch" haben.

Also

Es seien $\begin{eqnarray*} X_1,...X_n \end{eqnarray*}$ unabhängige reellwertige Zufallsvariable.
a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} Y := max{X_1,...X_n} \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable ist und dass für die Verteilungsfunktion
gilt:
$\begin{eqnarray*} F_y (x) = F_{X_1}(x) \cdot \cdot \cdot F_{X_n}(x) \end{eqnarray*}$
(für alle x).

zum ersten teil:

ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} X_1,...X_n \end{eqnarray*}$ Zufallsvariablen sind. Nach Definition weiß ich dann auch, dass $\begin{eqnarray*} \forall a\in \mathbb R \quad A_i=\{\omega|X_i(\omega)\geq a\} \in E\quad i=1,...n \end{eqnarray*}$ gilt.

Dann gilt doch auch $\begin{eqnarray*} \forall a\in \mathbb R \quad B_i=\{\omega|max(X_i(\omega))\geq a\} \in E \end{eqnarray*}$ weil die $\begin{eqnarray*} B_i \end{eqnarray*}$ ja nur Vereinigungen von Teilmengen der $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ sind. oder??? Und damit bin ich ja dann fertig, weil das ja gerade Y ist.

zum zweiten Teil:

Wenn $\begin{eqnarray*} X_1,...X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, dann weiß ich, dass für jedes einzelne X gilt: $\begin{eqnarray*} \forall [c,d] \{\omega |X(\omega)\in [c,d]\} \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

Das heißt dass $\begin{eqnarray*} P(\{\omega| X_i(\omega)\in [c_1,d_1]\} \cap \{\omega| X_i(\omega)\in [c_2,d_2]\})=P(\{\omega| X_i(\omega)\in [c_1,d_1]\}) \cdot P(\{\omega| X_i(\omega)\in [c_2,d_2]\}) \end{eqnarray*}$
(oder zumindest so ähnlich, ich hoffe es ist mindestens klar, was ich meine, ob das mathematisch korrekt aufgeschrieben ist weiß ich nicht.)

setze nun die $\begin{eqnarray*} [c,d] \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} \{\omega|X(\omega)<x\}=\{\omega|X(\omega)\in [c,d]\} \end{eqnarray*}$ gilt. was ja geht, da ja [c,d] beliebig wählbar ist.

Dann ist $\begin{eqnarray*} F_y(x)=\prod_{i=1}^n~P(\{\omega|X(\omega)\in [c_j,d_j]\})=\prod_{i=1}^n~P(\{\omega|X(\omega)>x\})=\prod_{i=1}^n~F_{X_i}(x) \end{eqnarray*}$

Was ja genau das ist was ich haben wollte.

So ich hoffe das war verständlich und mir wird jetzt nur noch gesagt, dass das prima ist Augenzwinkern

vielen Danke

lg

29.11.2009, 19:06

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Zitat:

Original von Posty
$\begin{eqnarray*} \forall a\in \mathbb R \quad B_i=\{\omega|max(X_i(\omega))\geq a\} \in E \end{eqnarray*}$

Der Index $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} B_i \end{eqnarray*}$ ist etwas irreführend, denn das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ verschwindet in der Maximumbildung. Nenne es doch klar und deutlich nur

$\begin{eqnarray*} B=\{\omega \mid \max_i(X_i(\omega))\geq a\} \end{eqnarray*}$

mit dann $\begin{eqnarray*} B = \bigcup_{i=1}^n A_i \end{eqnarray*}$ , und das für jedes $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Und was die Rechnung betrifft: Was sollen diese Intervalle $\begin{eqnarray*} [c,d] \end{eqnarray*}$ ? Du verzettelst dich da auf Nebenkriegsschauplätzen, was am Ende ins Chaos führt:

Zitat:

Original von Posty
Dann ist $\begin{eqnarray*} F_y(x)=\prod_{i=1}^n~P(\{\omega|X(\omega)\in [c_j,d_j]\}) \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich Unsinn.

Wenn es um Verteilungsfunktionen geht, dann interessieren wegen

$\begin{eqnarray*} F_{X_i}(x) = P(X_i \leq x) = P(X_i \in (-\infty,x]) \end{eqnarray*}$

nur diese Intervalle $\begin{eqnarray*} (-\infty,x] \end{eqnarray*}$ . Also schreib mal deine Betrachtungen von $\begin{eqnarray*} [c,d] \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (-\infty,x] \end{eqnarray*}$ um, dann wird es sorgfältig durchdacht am Ende auch richtig. Viel wichtiger ist, dass du die Äquivalenz von

$\begin{eqnarray*} \max_i X_i(\omega) \leq x \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} X_1(\omega) \leq x \,\wedge\, X_2(\omega) \leq x \,\wedge\, \ldots \,\wedge\,X_n(\omega) \leq x \end{eqnarray*}$

nochmal hervorhebst - das ist doch der Kernpunkt des anstehenden Beweises, neben der Unabhängigkeit.

29.11.2009, 21:25

Posty

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DANKE!!!!

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