Differenzialgleichung

30.11.2009, 14:42	FrankyHill	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzialgleichung Hallo, ich fange gerade mit dem Thema Differenzialgleichungen an. Die Aufgaben die ich bis jetzt hatte waren alles gewöhnliche DGl welche man durch trennung der Variablen berechnen konnte. Bei der nächsten bin ich mir nicht sicher wie ich diese lösen kann. $\begin{eqnarray} y'=(x+y)^2 \end{eqnarray}$ Bestimmen sie die allgemeine Lösung. Fällt mir als erstes auf das dies eine Binomische ist. Macht das Sinn es dann auch so zu schreiben? $\begin{eqnarray} y'=x^2+2xy+y^2 \end{eqnarray}$ Würde dann $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} =x^2+2xy+y^2 \end{eqnarray}$ Hier habe ich dann das Problem das ich nicht weiß wie ich die y und x trennen soll. Kann mir da wer helfen.Kennt jemand ein gutes Buch oder eine Internet Seite (außer der sehr guten Matheboard) die für Anfänger im Bereich DGL empfehlenswert ist. Danke!!
30.11.2009, 15:23	FrankyHill	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, glaube ich probiere hier lieber mal ne Substitution.
30.11.2009, 15:49	FrankyHill	Auf diesen Beitrag antworten »
Also würde dann so aussehen. $\begin{eqnarray} y'=(x+y)^2 \end{eqnarray}$ wähle hier die Subst $\begin{eqnarray} u=x+y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'=1+y' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'=u' - 1 \end{eqnarray}$ Einetzen in $\begin{eqnarray} y'=(x+y)^2 \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} u'-1=u^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'=u^2+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{du}{dx} =u^2+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{du}{u^2+1} =dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{du}{u^2+1} = \int_{}^{}~~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} arctan (u )= x + c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u = tan ( x+c) \end{eqnarray}$ Rücksub. $\begin{eqnarray} x + y = tan ( x + c ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = tan ( x + c ) -x \end{eqnarray}$ Stimmt das als allgemeine Lösung???
30.11.2009, 16:17	FrankyHill	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe nun folgende Anfangsbedingungen gegeben. $\begin{eqnarray} y(-1)=1 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} 1 = tan ( -1+C)+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = tan ( -1 + C) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} arctan 0 = -1 + C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = -1 + C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 = C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = tan ( x + 1 ) -x \end{eqnarray}$ Korrekt???

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