Körpererweiterungen, Monome, Polynome in mehreren Unbekannten

30.11.2009, 14:52	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Körpererweiterungen, Monome, Polynome in mehreren Unbekannten Na ich weiß gar nicht wo ich anfangen soll: FAngen wir mal hier an: Sagen wir ich habe hier soetwas: $\begin{eqnarray} K[\alpha] \end{eqnarray}$ K Körper und alpha Nullstelle in C. Dann sagt man doch konventionell K adjungiert $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . und dann ist $\begin{eqnarray} K[\alpha]=\{\sum_{k=0}^n a_k\alpha^k : n\in\mathbb{N}_0, a_1,...,a_n\in K\} \end{eqnarray}$ Das macht für mich auch Sinn, denn es erklärt die Schreibweise Z.B. $\begin{eqnarray} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray}$ als Polynomring mit x:=(0,1,0,0,...) Aber wie bekomme ich jetzt $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[\sqrt{-5}]=\{a+b\cdot\sqrt{-5} : a,b\in\mathbb{Q}\} \end{eqnarray}$ damit unter einen Hut? Ich meine $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[\sqrt{-5}] \end{eqnarray}$ müsste ja $\begin{eqnarray} \{\sum_{k=0}^n a_k\sqrt{-5}^k:: n\in\mathbb{N}_0, a_1,...,a_n\} \end{eqnarray}$ sein. Aber ich sehe nicht, wieso das das gleiche ist... grüße, Schmouk EDIT: ps: Möglicher weise verstehe ich das doch: $\begin{eqnarray} \sqrt{-5}^k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k>1 \end{eqnarray}$ dann ist ür k gerade $\begin{eqnarray} \sqrt{-5}^k\in\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ und für k ungerade $\begin{eqnarray} \sqrt{-5}^k=\sqrt{-5}^{k-1}\cdot\sqrt{-5} \end{eqnarray}$ und wieder $\begin{eqnarray} \sqrt{-5}^{k-1}\in\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ . Dann passt es mit $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[\sqrt{-5}]=\{a+b\cdot\sqrt{-5} : a,b\in\mathbb{Q}\} \end{eqnarray}$ . Ist das der Grund?
30.11.2009, 15:59	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körpererweiterungen, Monome, Polynome in mehreren Unbekannten Exakt. Du kannst jedes Element der Form $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n a_k\sqrt{-5}^k \end{eqnarray}$ als ein Element der Form $\begin{eqnarray} a+b\cdot\sqrt{-5} \end{eqnarray}$ darstellen. Und ein Element der Form $\begin{eqnarray} a+b\cdot\sqrt{-5} \end{eqnarray}$ ist natürlich auch von der Form $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n a_k\sqrt{-5}^k \end{eqnarray}$ . Dadurch sind die beiden Mengen identisch.

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