Letzte Ziffer der Potenzen von 29

30.11.2009, 16:52

Janja

Letzte Ziffer der Potenzen von 29

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen, kann auch eine Lösung angeben, aber finde keine rechte Begründung und das reicht mir dann nicht.

Mit welcher Ziffer endet die Dezimaldarstellung von 29^n für n aus den natürlichen Zahlen?

Die letzte Ziffer ist 1 für gerade n und die Null und 9 für ungerade n. Woran liegt das. Hat es was mit 29 = 1 mod 10 zu tun und dass 29 eine Primzahl ist?

30.11.2009, 16:59

tmo

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Dies hat mit $\begin{eqnarray*} 29 \equiv -1 \pmod{10} \end{eqnarray*}$ zu tun.

Und $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ nimmt bekanntlich abwechselnd die Werte -1 (=9 mod 10) und 1 an.

Das könnte aber auch jeder Unterstufenschüler lösen. Denn bei Produkten muss man ja nur die Endziffern de Faktoren betrachten, wenn es um die Endziffer des Produktes geht.

Also hat $\begin{eqnarray*} 29^n \end{eqnarray*}$ die selbe Endziffer $\begin{eqnarray*} 9^n \end{eqnarray*}$ .

Und wegen $\begin{eqnarray*} 9^1=9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 9^2 = 81 \end{eqnarray*}$ sieht man sofort, dass als nächstes wieder die Endziffer 9, dann wieder die 1 usw. kommen muss.

30.11.2009, 17:28

Janja

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Danke, da stand ich mächtig auf dem Schlauch. Ich denke, ich hab das jetzt gerafft und nett aufgeschrieben

30.11.2009, 17:29

Janja

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Aber den Kram mit Kongruenzen kann ich mir ja dann wirklich schenken,oder?

30.11.2009, 17:31

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Zitat:

Original von Janja
Die letzte Ziffer ist 1 für gerade n und die Null und 9 für ungerade n.