Folgen komplexer Zahlen

30.11.2009, 17:20

Jackelbombi

Folgen komplexer Zahlen

Hallo!
Also meine Aufgabe ist es, zu entscheiden, ob die Aussage richtig oder falsch ist (mit Beweis).

1. Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, so konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty (a_k)^k \end{eqnarray*}$

Da dachte ich mir dann, dass ja eine harmonische Reihe grad ein Gegenbeispiel dafür wäre. Weil die harmonische Reihe doch ein Beispiel ist, das besagt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \end{eqnarray*}$ keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ ist. Aber ich weiß nicht, wie ich das jetzt richtig aufschreiben soll unglücklich

2. Wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (a_{2n}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (a_{2n+1}) \end{eqnarray*}$ beide divergent sind, dann ist auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (a_n) \end{eqnarray*}$ divergent.

Dazu denke ich einfach, dass das trivial ist, dass das so ist und mir fällt deswegen iwie nichts ein, was ich da machen muss.

Danke schonmal smile

30.11.2009, 17:23

Cel

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RE: Folgen komplexer Zahlen

Zitat:

Original von Jackelbombi
1. Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, so konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty (a_k)^k \end{eqnarray*}$

Da dachte ich mir dann, dass ja eine harmonische Reihe grad ein Gegenbeispiel dafür wäre. Weil die harmonische Reihe doch ein Beispiel ist, das besagt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \end{eqnarray*}$ keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ ist. Aber ich weiß nicht, wie ich das jetzt richtig aufschreiben soll unglücklich

Falsch, denn es gilt folgendes, wenn du als a_k die harmonische Reihe einsetzt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{k})^k = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^k} \end{eqnarray*}$

Und diese Reihe konvergiert nach Wurzelkriterium ...

30.11.2009, 17:27

tmo

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RE: Folgen komplexer Zahlen

Zitat:

Original von Jackelbombi
2. Wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (a_{2n}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (a_{2n+1}) \end{eqnarray*}$ beide divergent sind, dann ist auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (a_n) \end{eqnarray*}$ divergent.

Dazu denke ich einfach, dass das trivial ist, dass das so ist und mir fällt deswegen iwie nichts ein, was ich da machen muss.

Du meinst wohl trivialerweise falsch Augenzwinkern

30.11.2009, 17:39

Jackelbombi

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zu 1.

Das heißt ich muss jetzt zeigen, dass das nach dem Wurzelkriterium gilt und dann aber noch, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \end{eqnarray*}$ auch gilt.
Und wie mache ich das dann?

zu 2.

Ja gut! Augenzwinkern

Dann ist das falsch, aber wie mach ichs denn dann richtig?

30.11.2009, 18:19

Jackelbombi

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Ich habe jetzt zu 1. das Wurzelkriterium mal angewendet....

aber ich komme dann nicht weiter... Ich habe dann nach Umfomungen

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{k^{(k/n)}} < 1 \end{eqnarray*}$

Aber da sieht man doch noch gar nicht, dass das gilt oder?

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