Umkehrfunktionen <=> Bijektivität?

30.11.2009, 17:36	Graf_Love	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktionen <=> Bijektivität? Ist Bijektivität ein hinreichendes oder notwendiges Kriterium für die Existenz einer Umkehrfunktion? Z.B. $\begin{eqnarray} N \rightarrow N \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(n) = 2n \end{eqnarray}$ ist bijektiv und hat die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} f^{-1}(y) = \frac{y}{2} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} Q \rightarrow Q \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(n) = 2q \end{eqnarray}$ ist glaube ich nicht bijektiv, da 2q = 2* 1/1 oder 2q= 2* 2/2 auf denselben Wert abbilden - die Umkehrfunktion existiert dennoch (so glaube ich), da ich durch äquivalente Umformungen auf $\begin{eqnarray} f^{-1}(y) = \frac{y}{2} \end{eqnarray}$ komme. Für $\begin{eqnarray} R \rightarrow R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(x) = mx + n \end{eqnarray}$ , m,n € R müsste man glaube ich eine Fallunterscheidung machen, oder? Da: $\begin{eqnarray} y = mx + n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow y - n = mx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow \frac{(y - n)}{m} = x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow x = \frac{(y - n)}{m} \end{eqnarray}$ Daher: $\begin{eqnarray} f^{-1}(y) = \frac{(y - n)}{m} \end{eqnarray}$ für m != 0, für m = 0 existiert keine Umkehrfunktion. Inwiefern ist das hier Geschriebene richtig/falsch (je nachdem, was von beidem überwiegt :-D)? lg
30.11.2009, 18:21	Philipp Imhof	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktionen <=> Bijektivität? Notwendig ist Injektivität. Da Bijektivität die Injektivität und Surjektivität mitbringt, ist sie also hinreichend für die Existenz einer Umkehrfunktion, aber nicht notwendig, denn es geht ja auch ohne Surjektivität. Deiner Argumentation für die zweite Funktion gefällt mir nicht, denn $\begin{eqnarray} \frac11 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac22 \end{eqnarray}$ sind nicht zwei verschiedene Elemente, also existiert das von dir vorgebrachte Problem gar nicht. Beide genannten Funktionen bijektiv und haben die von dir genannte Umkehrfunktion. Die Argumentation in der dritten Funktion ist richtig, für m=0 ist es die konstante Funktion $\begin{eqnarray} \hat{n} \end{eqnarray}$ und für alle anderen m's ist die Umkehrung wie du schreibst.
30.11.2009, 19:44	Kühlkiste	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktionen <=> Bijektivität? Was ist denn bei $\begin{eqnarray} f: \mathbb N \longrightarrow \mathbb N, ~ f(n) := 2n \end{eqnarray}$ mit dem Wert $\begin{eqnarray} f^{-1}(1)? \end{eqnarray}$
30.11.2009, 19:53	Graf_Love	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktionen <=> Bijektivität? Erstmal danke Philip, dann ist also 2 und 3 richtig und ich vergesse das mit dem 1/1 und 2/2 :-D Und @Kühlkiste stimmt, gar nicht dran gedacht - dann fällt bei der ersten Funktion die Surjektivität weg, injektiv bleibt sie dennoch - die Umkehrfunktion ist aber trotzdem y/2, oder? Hat dann halt für alle ungerade y Definitionslücken...

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