Standarnormalverteilung, Dichte

30.11.2009, 19:27

manito

Standarnormalverteilung, Dichte

Hallo zusammen,
ich steh vor folgendem Problem:

Sei X standardnormaverteilt mit Parametern 0,1. Man bestimme die Dichte von X^2.

Mein Ansatz

$\begin{eqnarray*} P(X^2\leq u)=P(-\sqrt{x}\leq u\leq \sqrt{x})=\int_{-\sqrt{u} }^{\sqrt{u} }~\frac{1}{2\pi } e^{\frac{-y^2}{2}} ~dy \end{eqnarray*}$

führt ja zu nichts, da ich das integral elementar nicht berechnen kann.
Wie geht man dann vor?

30.11.2009, 20:40

Cel

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Zunächst steht an den Grenzen $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Hier muss die Transformationsformel / den Transformationssatz anwenden.

$\begin{eqnarray*} f_{T(x)}(y_1, \dots, y_d) := f_x(T^{-1}(y_1, \dots, y_d)) \cdot|det (T^{-1})'(x)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ ist hier die Dichte von X.

Was ist hier T, det(T^-1) ... ?

30.11.2009, 21:05

manito

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hm, das kenn ich so leider nicht

wir haben die transformationsformel nur für die umkehrfunktion eingeführt,
aber die darf ich meiner meinung nach hier ja nicht anwenden, da f(x)=x^2 nicht bijektiv ist

30.11.2009, 21:15

Cel

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Das u ist hier größer oder gleich Null. Und auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{+} \end{eqnarray*}$ ist x^2 bijektiv. Du darfst die Trafoformel anwenden.
Wenn u < 0, dann ist die Dichte = 0, denn $\begin{eqnarray*} P(X^2 \leq u) = 0 \end{eqnarray*}$ , falls u < 0.

30.11.2009, 21:20

manito

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ah ok,
alles klar
vielen dank

01.12.2009, 00:04

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
Und auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{+} \end{eqnarray*}$ ist x^2 bijektiv. Du darfst die Trafoformel anwenden.

Da bist du schwer im Irrtum, denn die zugrunde liegende Normalverteilung ist nicht auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{+} \end{eqnarray*}$ konzentriert, sondern deren Träger ist ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Und die Funktion $\begin{eqnarray*} T(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ ist als Funktion $\begin{eqnarray*} T:\;\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ eben nicht bijektiv. unglücklich

Die Bedenken von manito sind daher voll zutreffend.

Zitat:

Original von Mr. Brightside
Hier muss die Transformationsformel / den Transformationssatz anwenden.

Von "muss" kann keine Rede sein - auch aus den eben genannten Gründen der fehlenden Bijektivität von $\begin{eqnarray*} T(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ - da sind noch einige Zusatzüberlegungen nötig, sonst geht seltsamerweise die halbe Wahrscheinlichkeitsmasse verloren. Big Laugh

@manito

Dein erster Ansatz ist schon ganz gut, allerdings sind dir zwischendurch ein paar Symbole durcheinandergeraten. Schreibe ihn doch am besten weiter mit Hilfe der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ der Standardnormalverteilung: Für $\begin{eqnarray*} u\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt für die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_Y \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Y=X^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_Y(u) = P(X^2 \leq u) = P(-\sqrt{u} \leq X \leq \sqrt{u}) = \Phi(\sqrt{u}) - \Phi(-\sqrt{u}) = 2\Phi(\sqrt{u})-1 \end{eqnarray*}$ .

Die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ bringt die Dichte, dabei Kettenregel beachten:

$\begin{eqnarray*} f_Y(u) = \frac{\dd}{\dd u} \left( 2\Phi(\sqrt{u}) - 1 \right) = 2\varphi(\sqrt{u}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{u}} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \varphi = \Phi' \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \varphi(y) = \frac{1}{2\pi} e^{\frac{-y^2}{2}} \end{eqnarray*}$ ist. Jetzt nur noch einsetzen und etwas vereinfachen.

01.12.2009, 08:40

Cel

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Ich weiss, dass der Träger ganz R ist. Aber wie ich schrieb, berechne ich die Dichte nur für positive x-Werte, bei negativen ist die Dichte sofort null. Und auf dem betrachteten Intervall ist x^2 bijektiv.

Noch dazu liefert der Trafosatz dasselbe. Oder ist das nur Zufall?

01.12.2009, 08:41

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Na dann rechne doch mal vor. Augenzwinkern

01.12.2009, 08:50

Cel

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Na, wenigstens bis auf Faktoren korrekt. Du hast (natürlich) recht. Aber wieso klappt das denn nicht? Wieso ist meine Überlegung mit dem größer / kleiner falsch? Hammer

01.12.2009, 09:30

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Das habe ich doch oben schon erklärt (warum wird hier so schlecht zugehört?):

Die Zielgröße $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ mag nichtnegativ sein, die Ausgangsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist es nicht. Und auch negative Werte von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ tragen zur Wahrscheinlichkeitsmasse von $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ bei. Das hast du in deinem Ansatz ignoriert und damit passiert aufgrund der Symmetrie von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ genau das von mir vorhergesagte

Zitat:

Original von Arthur Dent
sonst geht seltsamerweise die halbe Wahrscheinlichkeitsmasse verloren. Big Laugh

01.12.2009, 09:53

Cel

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Es ist doch sicherlich in deinem Sinne, dass man dich versteht ... Deinen Beitrag habe ich gelesen, allerdings war es mir noch nicht ganz klar. Ich lese allerdings immer Beiträge bevor ich antworte. Jedenfalls ist mir nun klar, was da schiefgeht. Danke dafür.

01.12.2009, 22:44

manito

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also doch... Augenzwinkern

war mir inzwischen auch nicht so sicher dabei und hab zum glück nochma reingeschaut

ok, aber habs jetzt nach arthurs sinn hinbekommen

vielen dank

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