vektor rechnungen lösungsansätze

30.11.2009, 18:43

Klausens

vektor rechnungen lösungsansätze

hallo,
ich habe folgende vektoren gegeben

$\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{c}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 1:
ich soll prüfen ob $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ ein system linear unabhängiger Vektoren ist.

Aufgabe 2:
stellen sie $\begin{eqnarray*} \vec{d}=\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als linearkombination von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ dar

also zu aufgabe 1. habe ich folgenden lösungsansatz:

ich muss nur schauen das die vektoren nicht aufeinander liegen

aufgabe 2.:
vektor d muss so liegen das er eine ebene aufspannt.

30.11.2009, 18:56

klarsoweit

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RE: vektor rechnungen lösungsansätze

Zitat:

Original von Klausens
also zu aufgabe 1. habe ich folgenden lösungsansatz:

ich muss nur schauen das die vektoren nicht aufeinander liegen

Das ist zuwenig. Die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ liegen nicht aufeinander, sind aber linear abhängig.

Du mußt schauen, daß die Vektoren die in der Definition für lineare Unabhängigkeit genannten Bedingungen erfüllen.

30.11.2009, 19:28

Klausens

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also müssen die vektoren linear unabhängig sein und das überprüfe ich mit dem linearen gleichungssystem.

1= 1y
1=1x
1=1x+1y

wobei x=1 und y=1 ist aber 1=(1*1)+(1*1) nicht geht

also sind die vektoren a, b, c linear unabhängig da das lineare Gleichungssystem die leere Menge als Lösungsmenge hat, also L={}.

Gut jetzt bräuchte ich bloss noch hilfe bei der zweiten aufgabe.

01.12.2009, 09:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von Klausens
also müssen die vektoren linear unabhängig sein und das überprüfe ich mit dem linearen gleichungssystem.

1= 1y
1=1x
1=1x+1y

wobei x=1 und y=1 ist aber 1=(1*1)+(1*1) nicht geht

also sind die vektoren a, b, c linear unabhängig da das lineare Gleichungssystem die leere Menge als Lösungsmenge hat, also L={}.

Ehrlich gesagt habe ich davon kein Stück verstanden. Wie kommst du auf dieses Gleichungssystem?

Bevor man sich an die 2. Aufgabe macht, solltest du mal erklären, wie eine Linearkombination der Vektoren a, b und c aussieht.

01.12.2009, 11:28

Klausens

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hallo,
aufgabe 2 habe ich gelöst.
Denn eine Linearkombination ist, eine Summe von Vielfachen von Vektoren.

zB.: $\begin{eqnarray*} \vec{d}=u*\vec{a}+v*\vec{b}+w*\vec{d} \end{eqnarray*}$

wenn ich für u, v und w eine Lösung erhalte ist der Vektoren d eine Linearkombination von vektor a, b und c.

zu aufgabe 1.

also ich muss nur schauen ob die vektoren eine linearkombination sind, da sie es im diesem fall nicht sind, sind sie linear unabhängig.

01.12.2009, 11:58

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Zitat:

Original von Klausens
also ich muss nur schauen ob die vektoren eine linearkombination sind,

Das ist schlecht formuliert und somit nicht verständlich, was du meinst. Bitte drücke dich ganz genau aus. Was soll gelten oder was soll nicht gelten?

01.12.2009, 13:39

Klausens

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also ist es für dich schlecht formuliert, dann muss ich wieder sagen, dass die fachbücher schund sind. diese erklärung hab ich aus dem schroedel aufgabensammlung. welche für mich leicht verständlich ist nd ich es verstanden habe. aber ich kannsagen das die aufgaben richtig gelöst sind.

01.12.2009, 13:50

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Also ich glaube nicht, daß die Fachbücher schund sind. Wenn du etwas aus einem Buch zitierst, dann am besten wortwörtlich. Gerade in der Mathematik kommt es nicht nur auf jedes Wort an, sondern auch darauf, wo es in einem Satz steht. Eine andere Position kann schon einen anderen Sinn ergeben.

Zur linearen Unabhängigkeit: Eine Familie von Vektoren heißt genau dann linear unabhängig, wenn sich mit ihnen der Nullvektor nur auf triviale Weise (alle Linearfaktoren sind gleich Null) linear kombinieren läßt.

So, und das sollte jetzt die Ausgangslage für deine Aufgabe sein. Du sagst, "ich muß schauen, ob die Vektoren eine Linearkombination sind." Aber was heißt "Vektoren sind eine Linearkombination" ?

01.12.2009, 14:06

Klausens

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das stimmt, in der mathematik kommt es darauf an was man schreibt und wie es man schreibt. trotzdem danke erstmal für die hilfe

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