Grenzwert einer ungewöhnlichen Reihe

30.11.2009, 20:47

Graf_Love

Grenzwert einer ungewöhnlichen Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{w(n)}+2^{-w(n)}}{2^n} \end{eqnarray*}$ ist die zu behandelnde Reihe. $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ gilt außerdem und w(n) beschriebt die natürliche Zahl, die n am nächsten liegt, also für 1,2 ist w(n) = 1, für die nächsten 4 n's ist w(n) = 2 und für die darauf folgenden 6 n's ist w(n) = 3 usw.
a(n) lässt sich noch in $\begin{eqnarray*} a(n) = 2^{w(n)-n}+2^{-w(n)-n} \end{eqnarray*}$ umschreiben, viel mehr bekomme ich aber auch schon nciht mehr hin ^^

30.11.2009, 23:17

Graf_Love

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RE: Grenzwert einer ungewöhnlichen Reihe
Weiß keiner einen Rat? Da habe ich vollstes Verständnis für Freude

01.12.2009, 15:31

Leopold

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RE: Grenzwert einer ungewöhnlichen Reihe

Zitat:

Original von Graf_Love
und w(n) beschriebt die natürliche Zahl, die n am nächsten liegt

Könntest du die Definition von $\begin{eqnarray*} w(n) \end{eqnarray*}$ einmal präzise angeben? Denn so, wie es hier steht, ist $\begin{eqnarray*} w(n) = n \end{eqnarray*}$ , denn offensichtlich liegt die natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der natürlichen Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ am nächsten.
Da stimmt etwas in deinen Angaben nicht.

01.12.2009, 15:45

Mystic

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RE: Grenzwert einer ungewöhnlichen Reihe
@Leopold

Anscheinend meint er mit w(n) die natürliche Zahl, die der Wurzel aus n am nächsten liegt, zumindestens stimmen seine Angaben dafür...

01.12.2009, 16:04

Leopold

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@ Mystic

Ah so! Deshalb wohl auch w wie Wwwwwwwwwurzel!!!

@ Graf_Love

Ich habe numerisch 5,0000 als Reihenwert (Summation bis n=20). Wenn man das Ergebnis schon einmal vermutet, könnte man es ja auch zu beweisen suchen.

01.12.2009, 16:13

Mystic

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Ja, wenn meine Vermutung stimmt, wovon ich mal ausgehe, dann hat die Aufgabe mehr mit der expliziten Beschreibung von w(n) zu tun, wofür ich allerdings keinen Ansatz sehe...

Edit: Ja, der Reihenwert scheint wirklich 5 zu sein, wenn ich auch (noch) nicht sehe warum...

01.12.2009, 18:28

Leopold

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Ohne schon jedes Detail überprüft zu haben, scheint es folgendermaßen zu gehen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{w(k)} + 2^{-w(k)}}{2^k} = 2 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{w(k)} + 2^{-w(k)}}{2^k} = 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=n^2 - n + 1}^{n^2 + n} \frac{2^{w(k)} + 2^{-w(k)}}{2^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=n^2 - n + 1}^{n^2 + n} \frac{2^n + 2^{-n}}{2^k} = 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \left( 2^n + 2^{-n} \right) \sum_{k=n^2 - n + 1}^{n^2 + n} \frac{1}{2^k} \right) \end{eqnarray*}$

In dieser Rechnung stecken natürlich ein paar Behauptungen drin. Aber da soll sich ruhig der liebestolle Herr Graf darum kümmern. Und die weiteren Stichworte sind: Differenz geometrischer Summen, ausmultiplizieren, vereinfachen, Teleskopreihe.

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