Injektivitaet, Surjektivitaet von ZxZ->Z und Z->ZxZ

30.11.2009, 21:00

hamlax

Injektivitaet, Surjektivitaet von ZxZ->Z und Z->ZxZ

Hallo, ich habe fuer ein Studium eine Hausaufgabe bekommen weiss aber nicht genau wie ich herangehen soll.

Zeige Injektivitaet und Surjektvitaet!

Aufgabe 1)

$\begin{eqnarray*} ZXZ\Rightarrow Z \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(a, b) = a + 2b \end{eqnarray*}$

Injektivitaet ist klar: $\begin{eqnarray*} f(1, 1) = 3 = f(-1, 2) \end{eqnarray*}$ also nicht injektiv.
Wie gehe ich hier mit der Surjektivitaet vor? Ich weiss dass die Abbildung surjektiv ist und zwar gibt es unendlich viele moeglichkeiten eine Zahl darzustellen aber ich weiss nicht wie ich das formal hinschreiben muss.

Aufgabe 2)

$\begin{eqnarray*} Z\Rightarrow ZxZ \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x) = ((x -2)^{2}, x^{2}) \end{eqnarray*}$

Keine ahnung wie man da jetzt rangehen muss. Hilfe waere nett smile

30.11.2009, 21:55

sergej88

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Zur ersten. Nimm dir ein Beliebiges Element aus Z und finde dazu ein Urbild. Am besten ein Möglichst einfaches Augenzwinkern

zur 2ten. Selber Ansatz...
Ist sie Injektiv?
Surjektivität: Findest du zu jedem Element x aus Z auch ZAhlen a,b aus Z x Z mit f(a,b) = x aus Z

mfg.

30.11.2009, 21:56

Mazze

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Bei der Surjektivität fängt man immer so an, sei $\begin{eqnarray*} z \in Z \end{eqnarray*}$ . Dann ist zu zeigen das es $\begin{eqnarray*} (a,b) \in Z \times Z \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(a,b) = z \end{eqnarray*}$ . Wie könnte man (a,b) da wählen?

Zur Zweiten: Das die Funktion nicht Surjektiv ist, ist klar oder? Was die Injektivität angeht. Damit die Funktion injektiv ist muss gelten :

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \Rightarrow x = y \end{eqnarray*}$

also setzt man an :

$\begin{eqnarray*} (x - 2)^2 = (y - 2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = y^2 \end{eqnarray*}$

Aus der zweiten Gleichung folgt schonmal x = y oder x = -y. Jetzt musst Du dir nur noch überlegen ob die erste Gleichung den Fall x = -y ausschließt oder nicht Augenzwinkern

30.11.2009, 22:10

hamlax

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hallo mazze,

danke fuer die antwort.

dass aufg. 2 nicht surjektiv ist ist klar da x hoch 2 immer die ungeraden wegschmeisst.
dein ansatz zur injektivitaet bei aufgabe 2 hat mir auch geholfen :-).

was 1 angeht.

ich kann naturlich sagen ich setze b immer 0 dann waere f(a, 0) = z also z = a + 2*0 also z = a ...aber reicht das als beweis ??

danke schonma

30.11.2009, 22:18

Mazze

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Zitat:

dass aufg. 2 nicht surjektiv ist ist klar da x hoch 2 immer die ungeraden wegschmeisst.

Ich hätte jetzt gesagt dass die negativen Bereiche nicht erreicht werden. Schlussendlich reicht aber ein Beispiel wo es nicht klappt.

Zitat:

ich kann naturlich sagen ich setze b immer 0 dann waere f(a, 0) = z also z = a + 2*0 also z = a ...aber reicht das als beweis ??

Ja, es reicht völlig. Surjektiv heisst dass Du alle Bildelemente erreichst. Das ist gleichbedeutend damit, dass jedes Bildelement ein Urbild hat. Wenn Du also zu jedem belibiegen z ein Urbild angeben kannst, ist dass dss Beste was du machen kannst. Für b = 0 und a = z ist natürlich

$\begin{eqnarray*} f(z,0) = z + 2*0 = z \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} (z,0) \end{eqnarray*}$ ein Urbild von z.

30.11.2009, 22:20

hamlax

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hallo nochmal,

ich hab nunmal ausprobiert injektivitaet fuer 2 nachzuweisen

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x - 2)^{2} = (y - 2)^{2} x^{2} + 4 = y^{2} + 4 x^{2} = y^{2} x = +-y x^{2} = y^{2} x =+-y \end{eqnarray*}$

is das so richtig ? und was heisst das nu? fuer nur ein element wuerde es ja heissen dass es nicht injektiv ist aber ich hab mal versucht zahlen zu finden die beide das gleiche ergebnis liefern finde aber nichts.

30.11.2009, 22:25

Mazze

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Ich wäre da vorsichtiger. Aus $\begin{eqnarray*} (x - 2)^2 = (y - 2)^2 \end{eqnarray*}$ folgt nur $\begin{eqnarray*} (x - 2) = (y - 2) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -(x - 2) = (y - 2) \end{eqnarray*}$ . Mach es so wie ich es dir gesagt habe. Die zweite Gleichung bedeutet dass wir bereits wissen das $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = -y \end{eqnarray*}$ ist. x = y ist klar, wenn Du aber x = -y ausschließen kannst, folgt das die Funktion injektiv ist.

Setze also x = -y, kann dann die Gleichung $\begin{eqnarray*} (x - 2)^2 = (y - 2)^2 \end{eqnarray*}$ erfüllt sein?

30.11.2009, 22:30

hamlax

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dann waere es ja $\begin{eqnarray*} (-y - 2)^{2} = (y - 2)^{2} \end{eqnarray*}$

und -y wird ja wieder positiv durch das quadrieren. Damit waere die gleichung doch okay oder ??

30.11.2009, 22:34

Mazze

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Nanana, das packen Grundschüler :

$\begin{eqnarray*} (-y - 2)^2 = (y + 2 ) ^2 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (y + 2)^2 = (y - 2)^2 \end{eqnarray*}$

hat als einzige Lösung y = 0. Dann ist aber auch -0 = 0. Und damit ist die Funktion injektiv.

30.11.2009, 22:38

hamlax

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Zitat:

Original von Mazze
Nanana, das packen Grundschüler :

$\begin{eqnarray*} (-y - 2)^2 = (y + 2 ) ^2 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (y + 2)^2 = (y - 2)^2 \end{eqnarray*}$

hat als einzige Lösung y = 0. Dann ist aber auch -0 = 0. Und damit ist die Funktion injektiv.

Sorry aber ich hab grad voll den haenger ...
warum ist 0 die einzuge loesung ??

30.11.2009, 22:47

Mazze

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Wie gesagt, Grundschüler :

$\begin{eqnarray*} (y + 2)^2 = y^2 + 4y + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y - 2)^2 = y^2 - 4y + 4 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} (y + 2)^2 = (y - 2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y^2 + 4y + 4 = y^2 -4y + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 8y = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y = 0 \end{eqnarray*}$

30.11.2009, 22:49

hamlax

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ach scheisse.. binomische formel Big Laugh

besten dank :-)

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