Projektive Geometrie: Ferngerade bei Kegelschnitten |
| 30.11.2009, 21:27 | Alfreda | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Projektive Geometrie: Ferngerade bei Kegelschnitten ich bin in einem Prüfungsprotokoll zur projektiven Geometrie auf eine Prüfungsfrage gestoßen, in der man bei einem Kegelschnitt die Lage der Ferngerade bestimmen soll. Leider habe ich noch keine richtige Vorstellung von "Ferngerade". Fernpunkte kann man sich ja als "Richtung" von parallelen Geraden vorstellen. Aber kann man sich Ferngeraden und Fernebenen vorstellen? |
||
| 02.12.2009, 13:48 | JustPassingBy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also... ich habe um ehrlich zu sein, weder eine Vorlesung über Projektive Geometrie besucht, noch je etwas über Ferngeraden, Fernpunkten oder so gehört. Aber... ich vermute ich habe eine rauhe ahnung was gemeint ist. Folgendes solltest du dir am besten aufmalen. Betrachte mal im zweidimensionalen reellen Raum mit Koordinaten x,y sämtliche Ursprungsgeraden. Wenn man dann noch zusätzlich die Gerade L={y=1} einzeichnet, merkt man dass sämlichte Ursprungsgeraden diese genau einmal schneidet, außer die Gerade die auf der x-Achse verläuft (diese ist parallel zu L). Nun L selbst ist ja eigentlich nichts anderes als die Menge der reellen Zahlen (d.h. eindimensionaler reeller Raum). Damit kommt man auf die Aussage, dass der eindimensionaler projektiver Raum nichts anderes ist als ein eindimensionaler reeller Raum plus einen Fernpunkt. (Jede Ursprungsgerade nicht parallel zur x-Achse entspricht seinem Schnittpunkt mit L and die Ursprungsgerade auf der x-Achse entspricht dem Fernpunkt) Jetzt kann man das gleiche in drei dimensionen machen. Betrachte mal im dreidimensionalen reellen Raum mit Koordinaten x,y,z sämtliche Ursprungsgeraden und zeichne die Ebene E={z=1} (zweidimensionale reeller Raum) ein. Dann schneidet jede Usprungsgerade die Ebene einmal, außer den Urprungsgeraden die parallel zur Ebene sind. Man kann zusätzlich noch die Gerade L={y=1, z=0} einzeichnen, dann sieht man dass sämtliche Urpsrungsgeraden die parallel zur E waren (d.h. diese nicht geschnitten haben) die Gerade L schneiden, außer der Gerade die auf der x-Achse liegt. Damit kommt man auf die Aussage, dass der zweidimensionaler projektiver Raum nichts anderes ist als ein zweidimensionaler reeller Raum plus eine Ferngerade und plus einen Fernpunkt. (Jede Urpsrungsgerade nicht prarallel zur L entspricht seinem Schnittpunkt mit E (zweidimensionaler reeller Raum), die Urpsrungsgeraden parallel zur L und nicht auf der x-Achse entspricht seinem Schnittpunkt mit L (Ferngerade) und die Ursprungsgerade auf der x-Achse entspricht dem Fernpunkt). |
||
| 02.12.2009, 14:39 | Alfreda | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also ich kann zwar dieser Erklärung in etwa folgen, weiß aber nicht ob das wirklich so auf den reellen Raum anzuwenden ist. Der Kern der projektiven Geometrie ist ja die Erweiterung der euklidischen Geometrie um sogenannte Fernelemente. Nochmal zur Klarstellung die genauen Definitionen dieser Elemente: Fernpunkte: jede Gerade des R³ bildet zusammen mit allen ihren parallelen eine Parallelenschar. Jeder Punkt a aus R³ liegt auf genau einer Geraden dieser Parallelenschar. Jede solche Parallelenschar nennt man einen Fernpunkt. Das Bild eines Fernpunktes einer Geraden g bei der Zentralprojektion heißt der Fluchtpunkt dieser Geraden. Ferngerade: Für jede Ebene nennt man die Menge aller ihrer Fernpunkte eine Ferngerade. Fernebe: Die Menge aller Fernpunkte Es ist bei (mündlichen) Prüfungen oft der Fall, dass man so etwas abstraktes wie Ferngerade bzw. Fernebene in einer konkreten Frage anschaulich erklären muss. Wie müsste ich jetzt die Lage der Ferngeraden bei einzelnen Kegelschnitten aufzeigen? |
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
