Ein paar Allgemeine Überlegungen zu LGS

30.11.2009, 21:59

Physinetz

Ein paar Allgemeine Überlegungen zu LGS

Wollte nur mal ein paar Verständnisfragen klären zum LGS/Matrix.

1)

Die allgemeine Lösung eines inhomogenen LGS bekomme ich ja durch eine spezielle Lösung des inhomogenen LGS und die Lösung(en) des dazugehörigen homogenen LGS.

Beim homogenen LGS bekomme ich

-- nur die triviale Lösung

-- mehrere Lösungen

Nun meine Frage zu "mehreren Lösungen"

Wie entstehen diese "mehreren" Lösungen?

Wenn ich mir eine Lösung v herausgreife, so ist ja nun auch jede Linearkombination von v eine Lösung.

Enstehen so die "mehreren" Lösungen: also die "mehreren" Lösungen ergeben sich nur aus Linearkombination "einer Lösung" ?

Oder so:

Ich bekomme für mein homogenes LGS mehrere Lösungen, und jede Lösung selber (z.B. v, w , u) kann man durch Linearkombination nochmals zu einer Lösung machen?
Sozusagen, dass hier die Lösungen also v, w und u linear unabhängig sind?

Weitergedacht:
Ich bekomme ja dann bei der geometrischen Interpretation des inhomogenen LGS einen affinen Unterraum (als Lösungen).

Dies ist die spezielle Lösung an die ich nun meine homogene Lösung "anhefte". Z.B eine Gerade.

Hier also die gleiche Frage (hängt also mit oberem Teil zusammen): Ergibt sich die Gerade dadurch, dass ich EINE Lösung linear kombiniere?

Wenn ich nun also noch eine Lösung herausbekomme (linear unabhängig von der ersten) , dann bekomme ich eine weitere Gerade die ich auch an v_sp dranhänge.

Zusammengefasst: Ergibt sich die Gerade durch die Linearkombination EINER Lösung (also 1*u ; 3*u ) ? so dass jede weitere Lösung auch wieder eine Gerade gibt (da diese auch linear kombiniert werden kann?

Die Lösungen die Linearkombinationen werden aber nicht als "echte" Lösung gesehen, dann hätte ich ja unendlich viele Lösungen, eher als eine Lösung, da die Lösungen ja alle linear abhängig sind, richtig?

Die "echten Lösungen" sind linear unabhängig?

Ich hoffe Ihr versteht was ich meine, tut mir leid Kiste dass es wieder soviel geworden ist, möchte mein Problem nur deutlich machen...

01.12.2009, 11:50

kiste

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Hallo,

deine Definition von echten Lösungen ist natürlich sehr schwammig und wird auch nicht so normalerweise benutzt.
Klar ist:
Man kann aus dem Unterraum der Lösungen des homogenen Systems eine Basis auswählen. Diese Basiselemente hast du jetzt "echte" Lösungen genannt.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zusammen mit $\begin{eqnarray*} b=\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Nach Konstruktion ist $\begin{eqnarray*} x=b \end{eqnarray*}$ eine Lösung von $\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$ .
Außerdem ergibt sich für den Kern, also die Lösungen des homogenen Systems:
$\begin{eqnarray*} \mathcal L(A,0) = \langle \begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$ .

Es ist also $\begin{eqnarray*} \mathcal L(A,b) = b + \mathcal L(A,0) \end{eqnarray*}$ eine affine Ebene(und keine Gerade!)

02.12.2009, 20:55

Physinetz

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also dein Beispiel habe ich im Prinzip verstanden, ich mache jetzt einfach mal meine eigenen Beispiele:

FÜR EILIGE LESER: Das rote sind meine Kernthesen/fragen

1. Inhomogenes LGS mit einer Lösung (erweiterte Koeff.matrix):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 9\\ 0 & 3 & 7 & 23 \\ 0 & 0 & 9 & 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Rechte Spalte ist mein b , bei A*x = b

Die Lösung dieses inhomogenen LGS ist nun nur:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Basta, keine Linearkombination, also kein andere linear abhängiger Vektor

Geometrisch: Nur ein Vektor

2. Inhomogenes LGS mit mehreren Lösungen (erweiterte Koeff.matrix):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3\\ 0 & 1 & -3 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -5 & 7\\ 0 & 1 & -3 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier bekomme ich nun als spezielle Lösung z.B.

(3,1,2) und als Basisvektor des Lösungsraums des homogenen LGS (5,3,1)

Passt soweit.

Geometrisch: Eine Gerade mit Richtungsvektor (Base) und "Start"punkt, Ortsvektor (3,1,2)

3. Homogenes LGS

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0\\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier bekomme ich ja nun auch wieder wie bei "2.Inhomogenes LGS mit mehreren Lösungen " mehrere Lösungen.

Zum Beispiel: (1, -2, 1) ebenso wäre (2, -4, 2) eine Lösung, also jede Linearkombination von (1,-2,1).

Allgemein anders ausgedrückt wäre das: (t , -2t , t )

Also habe ich hier jegliche Linearkombinationen einer "berechneten" Lösung
(z.B.(1, -2, 1) , davon Linearkombinationen)

Geometrisch ergäbe sich auch hier eine Gerade (Ursprungsgerade).

Vergleich von 2. und 3. :

Bei 2 greife ich mir nun ja auch eine "berechnete" Lösung heraus , dort war es

(3,1,2) .

Nur hier ist der Unterschied doch nun, dass ich bei 2. nicht einfach wie bei 3. mit einem Faktor (man nenne ihn) b multiplizieren kann, sodass man eine weitere Lösung bekommt.

Bei 3. kann ich ja einfach "(1, -2, 1) oder (2, -4, 2) " als Lösung erhalten , da habe ich ja nun einfach mit 2 multipliziert.

Würde ich das bei 2. tun , bekäme ich (6,2,4) , was keine Lösung des LGS wär.

Liegt das daran, dass ich mich in einem homogenen LGS befinde (also für 0 als Lösung das immer funktioniert?)

Das wäre für mein Verständnis wichtig:

Geometrisch bedeutet das:

Bei 2. Inhomogenes LGS mit mehreren Lösungen (erweiterte Koeff.matrix):
bekomme ich eine Gerade.

Bei [B]3. Homogenes LGS bekomme ich auch eine Gerade als geometrische Lösung, jedoch liegt der Unterschied zu 2. darin, dass ich die Gerade dadurch bekomme, dass ich Linearkombinationen (also einfach die Lösung mit einem Faktor multipliziere) einer "berechneten" Lösung mache und bei 2. eben hmmm eine Base des zugehörigen homogenen LGS mit spezieller Lösung des inhomog. LGS?[/B]

ALSO: Die Lösung eines inhomogenen Systems ist eine spezielle Lösung samt den Basen des Lösungsraums des dazugehörigen Homogenen Systems. Und diese Basen ergeben sich als Linearkombinationen der "berechneten" also den speziellen Lösungen (ich weiß nicht wie ich es besser ausdrücken soll) eines homogenen Systems.

Juhu fertig :-D

Hoffe ich habe es kapiert

03.12.2009, 18:10

Physinetz

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könnte mir bitte jemand behilflich sein, dankeschön

*leider musste ich "pushen", mein thread wäre sonst wohl untergegangen- hierfür:sorry*

04.12.2009, 13:44

kiste

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Zitat:

Original von Physinetz
Liegt das daran, dass ich mich in einem homogenen LGS befinde (also für 0 als Lösung das immer funktioniert?)]

Ja, das ist doch gerade die Unterraumeigenschaft die für affine Räume eben nicht gilt.

Zitat:

ALSO: Die Lösung eines inhomogenen Systems ist eine spezielle Lösung samt den Basen des Lösungsraums des dazugehörigen Homogenen Systems. Und diese Basen ergeben sich als Linearkombinationen der "berechneten" also den speziellen Lösungen (ich weiß nicht wie ich es besser ausdrücken soll) eines homogenen Systems.

Ausdruck falsch, Aussage im Kern richtig.
Die Lösung des inhomogenen Systems ist eine spez. Lösung zusammen mit dem Lösungsraum des homogenen. Es gibt keine speziellen Lösungen des homogenen Systems und auch keine ausgezeichnete Basis(es gibt unendlich viele mögliche Basen!)

Und hör mit dem farbigen und dem pushen auf, so wird dir offensichtlich auch nicht früher geholfen

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