orthogonale Komplemente

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Nani Auf diesen Beitrag antworten »
orthogonale Komplemente
Guten Abend allerseits!

Sei der IR-Vektorraum

V := Span(1, t, sin(t)) Teilmenge von Abb(IR,IR)

gegeben mit der Abbildung <*,*> : V x V --> IR , <f,g> :=

Wenn nun W_1 := Span(sin(t)) und W_2 := Span(1,sin(t)) wäre, wie könnte ich dann die orthogonalen Komplemente W_1^{¬} und W_2^{¬} in V berechnen?

Ich danke euch vielmals für die Hilfe! smile
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du suchst also zum Beispiel für W_1 alle Funktionen f mit



so dass

gilt für alle .

Wenn Du die Lambdas kennst, hast Du ja das orthogonale Komplement. Das Integral kannst Du ausrechnen und Du erhälst dann eine Gleichung die für alle erfüllt sein muss. Entsprechend kannst Du dann die Lambdas eingrenzen.
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Von der Idee her ist mir dein Vorgehen klar.

Bei der Ausführung bin ich mir allerdings nicht so ganz sicher..

Also, wenn ich das Integral ausrechne, bekomme ich:



Setze ich das gleich null und löse nach Mü auf, so erhalte ich:



Stimmt das, oder mach ich etwas falsch?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Rechnung nicht nachgeprüft, aber so ähnlich sollte es aussehen. Nach mü auflösen brauchst Du aber nicht. Allerdings sollte es



heissen Augenzwinkern

Wenn Du richtig gerechnet hast wäre das orthogonale Komplement von W_1 also :

Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt! :-)

Super - und wie würde dann das orthogonale Komplement von W_2 (= Span(1, sin(t)) aussehen?

..die 1 find ich ein bisschen "komisch"...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, , also die Gleichung



lösen. Das führt zu



Das Integral auf der linken Seite kennst Du bereits von W_1, das auf der rechten Seite ist leicht. Diese Gleichung ist dann so zu lösen, das sie für alle gilt.
 
 
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung aufgelöst wäre dann:



Wie würde das nun wieder in korrekter Schreibweise aussehen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, jetzt würde man systematisch herangehen. Die Gleichung




muss für alle erfüllt sein, also erst recht für spezielle. Setzen wir mal dann muss also, falls ,



gelten damit die Gleichung stimmt. Also haben wir wieder . Setzen wir nun einmal und lassen , dann muss, damit die Gleichung stimmt



gelten. Daraus erhalten wir



und damit haben wir eine Beziehung zwischen allen 3 Lambdas. Wie man sieht, ist das orthogonale Komplement von W_2 also eindimensional. Das richtige hinschreiben wirst Du wohl hinbekommen, oder? Augenzwinkern
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Jeps, herzlichen Dank! smile
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