Integralrechnung |
| 08.10.2006, 16:29 | Nina88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Integralrechnung Ich schreibe morgen eine mathearbeit und habe probleme bei ein paar aufgaben, bei denen ich irgendwie nicht weiter komme. ich hoffe ihr könnt mir helfen.... Aufg: für k>0 ist die funktion f gegeben durch f(x)= k*(-x³ +3x+4). Bestimme k so, dass der Graph von f mit der Tangente im Hochpunkt eine Fläche mit dem Flächeninhalt 45 einschließt. Als erstes wollte ich jetzt die funktion für die tangente bestimmen und habe f'(x) gebildet, aber irgendwie komm ich net weiter.... |
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| 08.10.2006, 16:37 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Nina Ist ja schonmal ein guter Anfang mit der ersten Ableitung, dann berechne doch mal die Extremstellen durch null setzen dieser Ableitung und dann weiterhin den Hochpunkt. Kriegst du das hin? Gruß Björn |
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| 08.10.2006, 16:43 | Nina88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ich hab das null gesetzt und bekomme dann für x=1 oder x=-1 raus, dann bilde ich die f''(x) und setze meine ergebnisse ein und bekomme dann raus, dass der Hochpunkt bei -1 ist. ist das so richtig ??? |
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| 08.10.2006, 16:49 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine zwei Extremstellen stimmen. Jedoch bekomme ich ein postives Ergebnis raus, wenn ich -1 in die zweite Ableitung einsetze, was laut der hinreichenden Bedingung für Extrempunkte für einen Tiefpunkt spricht. Hast dich vielleicht verrechnet? Gruß Björn |
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| 08.10.2006, 16:53 | Nina88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
alles klar, der hochpunkt ist dann bei P(1/6) und wenn ich das dann in meine formel für die Ursprungsgerade einsetze, y= m*x bekomme ich dann für m=6 raus und habe dann y= 6k. |
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| 08.10.2006, 16:55 | Nina88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und jetzt setze ich doch f und y gleich um die schnittpunkte zu errechenen, mit denen ich dann das integral bestimmen kann |
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| 08.10.2006, 17:00 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vorsicht, der Hochpunkt ist (1/6k). Warum du da jetzt was in die allgemeine Form einer Ursprungsgeraden einsetzt versteh ich nicht so ganz 
Einfach die Extremstelle x=1 in die Ausgangsfunktion einsetzen, dadurch erhälst du die y-Koordiate des Hochpunkts. Danach musst du dir überlegen wie die Tangente in einem Hochpunkt aussieht, welche Steigung hat also eine waagerechte Tangente? |
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| 08.10.2006, 17:04 | Nina88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die steigung ist doch dann null oder ??? |
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| 08.10.2006, 17:06 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genauso ist es. Wie lautet also die Tangentengleichung für eine waagerechte Gerade, die durch den Punkt (a/6k) geht? (a soll irgendein beliebiger x-Wert sein) |
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| 08.10.2006, 17:09 | Nina88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habe gerade keine ahnung , ich hätte jetzt gesagt y=6k |
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| 08.10.2006, 17:11 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, genauso ists richtig, prima 
Hattest du zwar vorhin schon da stehen, aber der Weg dahin war für mich nicht ganz ersichtlich 
So, jetzt musst du die Schnittstellen von Tangente und Funktionenschar berechnen (Vorsicht: Polynomdivison 
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| 08.10.2006, 17:12 | Nina88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja das hab ich schon gemacht, da hab ich zweimal polynomdivision gemacht und als schnittstellen kommen dann x=1 und x=-2 raus. Richtig ??? |
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| 08.10.2006, 17:16 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Schnittstellen stimmen
Aber einmal Polynomdivision und einmal Satz von Vieta (oder pq Formel) hätte gereicht. Weisst du jetzt wie es weitergeht? |
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| 08.10.2006, 17:19 | Nina88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich hab das jetzt fertig gerechnet also integral von -2 bis 1 von f(x) - y , alles noch in betragsstriche gesetzt und dann das integral gleich dem flacheninhalt und dann kommt da für k= 6 2/3 raus. ich hab nur bei dem ansatz so ein paar probleme gehabt. vielen dank.... 
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| 08.10.2006, 17:22 | Nina88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habe nur jetzt noch ein problem mit einer aufgaben. es geht um eine parabel 1/2 x², die soll mit der parallelen x=3 eine fläche von 10,5 einschließen und soll dazu verschoben werden. woher weiß ich aber nun in welche richtung ich die verschieben muss ??? |
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| 08.10.2006, 17:31 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Ergbnis ist goldrichtig, es kamen ja zwar zwei Lösungen für k wegen der Betragsstriche raus, aber wegen k>0 kam nur eines davon in Frage. Deine andere Frage verstehe ich nicht. Was hat denn Verschiebung mit Flächenberechnung zu tun. Meiner Meinung nach kann man die Fläche, welche die Parabel mit der senkrechten Geraden x=3 einschließt einfach durch Integrieren berechnen. Oder wie ist das genau gemeint? |
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| 08.10.2006, 17:38 | Nina88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also die aufgabe lautet: Durch y= 1/2 x² ist eine parabel gegeben. um wieviel muss man diese parabel parallel zur 1.achse verschieben, damit die parabel mit den beiden koordinatenachsen und der durch x=3 gegebenen parallelen zu 2. achse eine fläche vom flächeninhalt 10,5 einschließt? |
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| 08.10.2006, 17:46 | Nina88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also wir hatten dann das integral von 0 bis 3 von 1/2* (x-k) = 10,5 gerechnet, aber wieso x-k und nicht x+k oder ist das egal ??? |
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| 08.10.2006, 17:50 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bin mir noch nicht ganz sicher, aber ich denke du musst hier folgende Integralgleichung nach k auflösen: Wenn f(x) die Funktionsvorschrift der Parabel ist, dann ist f(x-k) dieselbe Parabel um k Einheiten nach rechts verschoben. Deshalb ändert sich auch eine Integrationsgernze. Weisst du was ich meine? |
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| 08.10.2006, 17:53 | Nina88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mit dem verschieben raff ich noch aber mit der grenze, die ist doch festgelegt in der aufgabe das integral soll ja zwischen den beiden koordinatenachsen und x=3 liegen . |
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| 08.10.2006, 17:57 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt, hatte ich überlesen, sorry 
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| 08.10.2006, 18:00 | Nina88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja aber wieso wir diese parabel dann nach rechts verschoben und net nach links. oder ist das egal wohin die verschoben wird ??? |
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| 08.10.2006, 18:07 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Verschiebung ist eben für positive k's nach rechts und für negative k's nach links. Das kriegt man aber am Ende dann eh raus. Bin mir jetzt aber irgendwie wieder skeptisch geworden wegen der unteren Integralgrenze. Schau mal auf diese zwei Grafiken an: Die zweite Grafik zeigt mal die um 1 Einheit nach links verschobene Parabel. Daducrh würde sich die untere Grenze ja auch verschieben oder nicht? Der Graph schliesst ja eine Fläche von x=-1 bis 0 und von x=0 bis 3 mit den Achsen ein. Oder wie siehst du das? Edit: Hab keine Ahnung wie man hier senkrechte Geraden zeichnen soll !? |
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| 08.10.2006, 18:23 | Nina88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja es kommt ja hinter auch für k -1 und 4 raus und dann ist es ja egal ob ich eine verschiebung nach rechts oder links annehme. aber mit den grenzen da habe ich echt keine ahnung. wir hatten die aufgabe in der schule halt schonmal gerechnet und haben da 0 als untere grenze und 3 als obere grenze festgelegt ..... |
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| 08.10.2006, 18:27 | laixi^laixi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist es nicht so, dass die parabel parallel zur x-Achse nach oben(!) verschoben werden muss? Das würde dann doch ergeben: das ganze dann nach auflösen. MfG |
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| 08.10.2006, 18:35 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ laxi^laxi Nein, das stimmt nicht, lies dir nochmal die Aufgabenstellung genau durch @ Nina88 Tja, aber wenn ihr schonmal besprochen habt, wirds wohl so stimmen. Kommen ja auch hübsche Werte raus...ich werds mir nochmal durch den Kopf gehen lassen
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| 08.10.2006, 18:46 | laixi^laixi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm, hast wohl recht. Das mit dem Parallel-verschieben ist ein bisschen unglücklich formuliert. Besser wäre wohl "in x-Richtung". |
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