Norm	Neue Frage »

01.12.2009, 19:35

janlausitz

Norm

Hallo zusammen, Wink

Ich hab' heut' eine Aufgabe bekommen bei der ich garnicht weiterkomm' verwirrt

Und zwar soll ich zeigen dass $\begin{eqnarray*} | (x1,...,xn) | \end{eqnarray*}$ = max{ $\begin{eqnarray*} | xi | \end{eqnarray*}$ : i = 1,....,n}
und $\begin{eqnarray*} | (x1,....,xn) | \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} | x1 | \end{eqnarray*}$ +.......+ $\begin{eqnarray*} | xn | \end{eqnarray*}$ Normen auf $\begin{eqnarray*} IR^{n} \end{eqnarray*}$ definieren.
Wobei folgende Eigenschaften gegeben sind:
1. $\begin{eqnarray*} | x | \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 für alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} IR^{n} \end{eqnarray*}$ und gleichheit genau wenn x = 0
2. $\begin{eqnarray*} | yx | \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} | y | \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | x | \end{eqnarray*}$ für alle y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ IR und x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} IR^{n} \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} | x+y | \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | x | \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} | y | \end{eqnarray*}$ für alle x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} IR^{n} \end{eqnarray*}$ . Achtung überall müssen eigentlich doppelte Betragsstriche stehen außer bei y in Eigenschaft 2) und dem zweitem Punkt der bewiesen werden soll. Ich hatte KA wie ich Doppelbetragsstriche darstellen kann.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen
jan

01.12.2009, 19:58

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Du verwechselst da etwas:
Diese Eigenschaften sind nicht gegeben, diese musst du überprüfen. Anders gesagt:
Alles was diese Eigenschaften erfüllt schimpft sich eine Norm !

Die "doppelten Betragsstriche" kriegst du mit

code:
1:	\\|x\\|

das ergibt
$\begin{eqnarray*} \|x\| \end{eqnarray*}$ .

04.12.2009, 18:51

janlausitz

Auf diesen Beitrag antworten »

Schon klar Augenzwinkern

Nur wie kann ich zeigen, dass die Eigenschaften 1 - 3 erfüllt sind?
jan

04.12.2009, 19:06

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nur wie kann ich zeigen, dass die Eigenschaften 1 - 3 erfüllt sind?

In dem Du einfach mal anfängst. Beispielsweise fürs erste:

$\begin{eqnarray*} \|x\|_\infty = \max_{i \in \{1,...,n\}}|x_i| \geq 0 \end{eqnarray*}$

da der Betrag immer größergleich Null ist. Weiterhin sei nun

$\begin{eqnarray*} \|x\|_\infty = 0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \max_{i \in \{1,...,n\}}|x_i| = 0 \end{eqnarray*}$ , nun wenn der Betrag des größten Eintrags von x gleich 0 ist, dann sind alle Einträge Null, also ist x = 0. Und damit ist Punkt (1) schon gezeigt. Punkt (2) zeig ich dir auch nochmal

Sei also $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} \|\lambda x\|_\infty = \max_{i \in \{1,..,n\}}|\lambda x_i| = \max_{i \in \{1,..,n\}}|\lambda | |x_i| = |\lambda| \max_{i \in \{1,..,n\}}| x_i| = |\lambda | \|x\|_\infty \end{eqnarray*}$

Und schon haben wir Eigenschaft 2 gezeigt.

04.12.2009, 21:48

janlausitz

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort Augenzwinkern

Kann ich die dritte Eigenschaft dann so nachweisen?

Seien also x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} IR^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \|xi +yi\| \end{eqnarray*}$ = max { $\begin{eqnarray*} | xi | \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} | yi | \end{eqnarray*}$ } $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ max{ $\begin{eqnarray*} | xi | \end{eqnarray*}$ } +max { $\begin{eqnarray*} | yi | \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \|xi\| \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \|xi\| \end{eqnarray*}$

gruß
jan

05.12.2009, 10:40

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist schon die Idee, bis hierhin gehts ohne Probleme :

$\begin{eqnarray*} \|x + y \|_\infty = \max_{i \in \{1,...,n\}} |x_i + y_i| \leq \max_{i \in \{1,...,n\}} (|x_i| + |y_i|) \end{eqnarray*}$

Den Schritt

$\begin{eqnarray*} \max_{i \in \{1,...,n\}} (|x_i| + |y_i|) \leq \max_{i \in \{1,...,n\}} |x_i| + \max_{i \in \{1,...,n\}} |y_i| \end{eqnarray*}$

muss man aber sauber Begründen. Das ist aber nicht schwer.

Das hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \|xi +yi\| \end{eqnarray*}$ = max { $\begin{eqnarray*} | xi | \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} | yi | \end{eqnarray*}$ }

ist allerdings falsch, es müsste kleinergleich heissen!

05.12.2009, 16:04

janlausitz

Auf diesen Beitrag antworten »

Also den Schritt dass
$\begin{eqnarray*} \max_{i \in \{1,...,n\}} |x_i + y_i| \leq \max_{i \in \{1,...,n\}} (|x_i| + |y_i|) \end{eqnarray*}$

kann ich doch mit der Dreiecksungleichung begründen. Aber ich komm' nicht drauf wie man den anderen Schritt begründen kann? verwirrt

jan

05.12.2009, 17:17

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Aber ich komm' nicht drauf wie man den anderen Schritt begründen kann?

Dieser Schritt ist auch genau der Knackpunkt, die anderen Schritte sind mehr oder minder trivial. Der Beweis dieser Eigenschaft ist aber auch nicht schwer.

Setze $\begin{eqnarray*} x_m = \max_{i \in \{1,...,n\}}|x_i| \end{eqnarray*}$ , dann ist mit Sicherheit :

$\begin{eqnarray*} \max_{i \in \{1,...,n\}} (|x_i| + |y_i|) \leq \max_{i \in \{1,...,n\}}( x_m + |y_i|) = x_m + \max_{i \in \{1,...,n\}}|y_i| = \max_{i \in \{1,...,n\}}|x_i| + \max_{i \in \{1,...,n\}}|y_i| \end{eqnarray*}$

Und schon stehts da Augenzwinkern

05.12.2009, 18:21

janlausitz

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann probier' ich mal den zweiten Teil:
Zu Zeigen ist also dass
$\begin{eqnarray*} \| (x1,....,xn) \| \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} | x1 | \end{eqnarray*}$ +.......+ $\begin{eqnarray*} | xn | \end{eqnarray*}$
eine Norm definiert. Damit dies zutrifft müssen die Eigenschaften 1 - 3 erfüllt sein.
Beweis:
zu 1) $\begin{eqnarray*} \| (x1,....,xn) \| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 da der Betrag einer Zahl stets größer gleich Null ist und die Gleichheit
$\begin{eqnarray*} \| (x1,....,xn) \| \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} | x1 | \end{eqnarray*}$ +.......+ $\begin{eqnarray*} | xn | \end{eqnarray*}$
gilt.
zu 3) $\begin{eqnarray*} \| (x1,....,xn)+(y1,...,yn) \| \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} | x1 + y1 | \end{eqnarray*}$ +..+ $\begin{eqnarray*} | xn+yn | \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} | x1 | \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} | y1 | \end{eqnarray*}$ )+....+( $\begin{eqnarray*} | xn | \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} | yn | \end{eqnarray*}$ ) = ( $\begin{eqnarray*} | x1 | \end{eqnarray*}$ +....+ $\begin{eqnarray*} | xn | \end{eqnarray*}$ ) + ( $\begin{eqnarray*} | y1 | \end{eqnarray*}$ +.....+ $\begin{eqnarray*} | yn | \end{eqnarray*}$ )= $\begin{eqnarray*} \| (xi) \| \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \| (yi) \| \end{eqnarray*}$
Stimmt das so halbwegs?
Der zweite Beweis müsste eigentlich auch recht einfach gehen oder?
jan

05.12.2009, 18:31

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast bei 1) etwas vergessen. Nämlich zu zeigen dass aus $\begin{eqnarray*} \|x\| = 0 \end{eqnarray*}$ folgt dass $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Das zweite ist auch leicht. Erinnere dich einfach daran das $\begin{eqnarray*} x - y = -(y - x) \end{eqnarray*}$ ist, und benutze eine bestimmte Eigenschaft der Betragsfunktion.

Zitat:

Stimmt das so halbwegs?

Naja, fast. Du hast in Deiner Ungleichungskette das falsche Relationszeichen, richtig wäre :

$\begin{eqnarray*} \|x + y\| = \sum_{i=1}^n |x_i + y_i| \leq \sum_{i=1}^n |x_i| + |y_i| = \sum_{i=1}^n |x_i| + \sum_{i=1}^n |y_i| = \|x\| + \|y\| \end{eqnarray*}$

aber ansonsten ists richtig.

05.12.2009, 23:10

janlausitz

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh da hab' ich mich wohl vertippt Tanzen

zu 1) sei nun $\begin{eqnarray*} \|(x1,...,xn)\| = 0 \end{eqnarray*}$ Dann folgt wegen der Gleichheit dass auch $\begin{eqnarray*} |x1| \end{eqnarray*}$ +....+ $\begin{eqnarray*} |xn| \end{eqnarray*}$ = 0 Was jedoch nach Definition nur für x = O erfüllt ist.
Reicht das als "Beweis" auch aus? verwirrt

zu 2) Kann ich nicht einfach so anfangen?

$\begin{eqnarray*} \|y(x1,...,xn)\| \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} |yx1| \end{eqnarray*}$ +...+ $\begin{eqnarray*} |yxn| \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} |y| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |x1| \end{eqnarray*}$ +...+ $\begin{eqnarray*} |y| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |xn| \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} |y| \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} |x1| \end{eqnarray*}$ +....+ $\begin{eqnarray*} |xn| \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} |y| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \|(x1,...,xn)\| \end{eqnarray*}$
jan

06.12.2009, 09:47

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Reicht das als "Beweis" auch aus?

Im Prinzip schon, Du solltest aber eher sagen, da alle Summanden nicht negativ sind kann die Summe nur dann Null sein, wenn alle SUmmanden null sind. Damit folgt x = 0.

Zitat:

zu 2) Kann ich nicht einfach so anfangen?

Ja, so geht das.

06.12.2009, 16:17

janlausitz

Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut dann werd' ich das jetzt noch schön aufschreiben.
Vielen lieben Dank für eure Anworten. Ihr habt mir wirklich sehr weitergeholfen smile

Neue Frage »

Antworten »

Norm

Verwandte Themen