Spezialfall Matrizen

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Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »
Spezialfall Matrizen
Hallo, wollte nur mal wissen wie das funktioniert:

Habe eine Matrix A (2x2) und eine Matrix B(2x2), jetzt soll ich herausfinden was für einen gegebene Matrix A die mit B multipliziert wird, so dass gilt:

AB=BA

Also wenn man das Ergebnis nicht weiß, muss man wohl mit elementarer Rechnung ran...

Also eine Lösung sieht man: B= Inverse von A

Aber sonst sollte man wohl eine Matrix B kreieren.

Dann AB ausrechnen und auch BA ausrechnen (also allgemein).

Anschließend setzte ich jeweils den gleichen Eintrag gleich, also
Zeile 1 Spalte 1 ,
Zeile 1 Spalte 2 ,
Zeile 2 Spalte 1 ,
Zeile 2 Spalte 2

Dann habe ich ja 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten (die a-Werte sind ja gegeben, wenn auch nur allgemein)

Dann könnte ich ja ein LGS machen und mit Gauß auflösen...

Passt das?

Grüßchen Physi
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spezialfall Matrizen
Hi Physi,

Zitat:
Original von Physinetz
Habe eine Matrix A (2x2) und eine Matrix B(2x2), jetzt soll ich herausfinden was für einen gegebene Matrix A die mit B multipliziert wird, so dass gilt:
AB=BA
Ich kapiere den Sinn dieses Satzes nicht. verwirrt

- Ist eine der Matrizen explizit gegeben? Dann gib sie bitte auch an.
- Was ist überhaupt gegeben? Wenn A und B gegeben sind, dann ist ja nichts mehr zu tun. Ich nehme mal an, dass A gegeben ist und man alle B finden soll, mit AB=BA. Dann ist Dein Vorgehen richtig. LGS aufstellen und mit einem Algorithmus Deiner Wahl lösen.

Gruß,
Reksilat.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Aufgabe ist doch Glas klar so wie sie da steht:

Anders ausgedrückt und mit A und B vertauscht (also einfach ab hier lesen)


Welche Bedingungen müssen die Einträge der 2x2 Matrix A= erfüllen, damit für beliebige 2x2 Matrizen die Gleichung

AB=BA gilt?



Also ich weiß nicht ob ich das durch ein LGS lösen kann?

Auf den ersten Blick würde ich sagen, die Matrix A müsste die Inverse von B sein, oder die Matrix A müsste die Einheitsmatrix sein. Wenn dem so ist, wie kann ich das herleiten und gibt es auch noch andere Lösungen?

Also mein Ansatz zur Herleitung:


Aber sonst sollte man wohl eine allgemeine Matrix B kreieren.

Dann AB ausrechnen und auch BA ausrechnen (also allgemein).

Anschließend setzte ich jeweils den gleichen Eintrag gleich, also
Zeile 1 Spalte 1 ,
Zeile 1 Spalte 2 ,
Zeile 2 Spalte 1 ,
Zeile 2 Spalte 2

Dann habe ich ja 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten (die B-Werte sind ja gegeben, wenn auch nur allgemein)

Dann könnte Gaußverfahren ja klappen, nur

a) ist das richtig so

b) ist das LGS zu lösen dann nicht ein wenig kompliziert (da allgemeine Werte von B ja nur vorkommen?)

Grüße Physi

Edit: LaTeX-Tag repariert. Gruß, Reksilat.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mir wurscht, was Du sagst. Das was Du im ersten Posting geschrieben hast, ist weder klar verständlich, noch ein korrekt formulierter Satz.

Egal, zur Aufgabe:
Die Inverse von B ist Quatsch, denn A soll ja eine feste Matrix sein, die mit allen B vertauscht. A darf also nicht von den Einträgen von B abhängen. Einheitsmatrix ist aber korrekt.

Wenn Du hier mit und anfängst, hast Du ein System mit 4 Gleichungen und 8 Unbekannten. Das bringt nicht so viel.
Versuche lieber mal ein paar solcher Matrizen A zu sammeln, die mit allen anderen vertauschen.
Ansonsten kannst Du auch mal verschiedene B ausprobieren. Zum Beispiel muss ja so ein A auch mit vertauschen. Wenn Du jetzt das LGS ansetzt, bekommst Du schon ein paar mehr Eigenschaften von A.

Gruß,
Reksilat.
(Schluß für heute)
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Denke mal die einzige Lösung ist die Nullmatrix...?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast bereits die Einheitsmatrix als Lösung gefunden. Ich habe das auch noch bestätigt. Wieso sollte denn jetzt plötzlich einzig die Nullmatrix als Lösung auftauchen? Erstaunt2

Edit: Um es noch mal deutlich zu machen: Gesucht ist ein Matrix , so dass für alle immer gilt. Insbesondere muss das dann auch für obiges gelten.

Die Gleichung liefert dann ein paar Erkenntnisse zu den .

Ausführlicher kann ich meine Hinweise nicht mehr formulieren. Mehr werde ich deshalb auch nicht helfen, bevor nicht etwas konstruktives zurückkommt.

gn8,
Reksilat.
 
 
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