Multiplikation von Wurzeln

01.12.2009, 20:45	Kalli2671990	Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikation von Wurzeln Hi ich soll allgemein, ohne Anwendung von Potenzgesetzen(außer wenn ich diese auch beweise) beweisen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \end{eqnarray}$ Die einzige Idee die ich hatte, war die Potenzgesetze mit Induktion beweisen, allerdings gilt das ja dann nur für natürliche Zahlen
01.12.2009, 21:06	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, das kommt drauf an wie ihr die n-te Wurzel definiert hat. Im Regelfall sagt man $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{a} \end{eqnarray}$ ist die eindeutig bestimmte Zahl x für die gilt $\begin{eqnarray} x^n=a \end{eqnarray}$ . Da diese Zahl (wie gesagt) eindeutig bestimmt ist, reicht es zu zeigen, dass auch $\begin{eqnarray} (\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b})^n=ab \end{eqnarray}$ .
01.12.2009, 21:40	Kalli2671990	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Multiplikation von Wurzeln Ja genauso haben wir die Wurzel eingeführt ich frag mich nur grad inwiefern es leichter ist zu beweisen, dass $\begin{eqnarray} (\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})^n = ab \end{eqnarray}$ ist. Das einzige was mir im Moment einfällt ist, einfach x und y für die Wurzeln einzusetzen, dann brauch ich aber wieder die Potenzregel, die ich ja nicht zur Verfügung habe.
01.12.2009, 22:30	Kalli2671990	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Multiplikation von Wurzeln keiner da der mir helfen kann? Ich weiß dass die Wurzeln eindeutig sind, also sind die Produkte von den beiden Eindeutigkeit und die Potenz auch(hoffe das man das einfach so sagen kann). Also ist das Ergebnis eindeutig. aber dass das dann genau ab sein muss???
01.12.2009, 23:46	Kalli2671990	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Multiplikation von Wurzeln Ich stoß nochmal einen Hilfeschrei aus :-) Naja is auch bisschen arg kurzfristig, aber ich muss das Blatt morgen abgeben ich seh im Moment nur den Vorteil der Umformung nicht, ide gemacht wurde. Wenns nicht klappt, naja mal die Komilitonen fragen, aber bei denen sah es gestern auch schelcht aus. Ansonsten sind halt 2 von 29 punkten weg^^
02.12.2009, 00:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis der Richtigkeit der Beziehung beruht auf dem Assoziativitätsgesetz der Multiplikation. Potenziere das Produkt zunächst mit n: Dann besteht das Ergebnis aus 2n Faktoren. Nun fasse - auf Grund der Definition der n-ten Wurzel - n Wurzelfaktoren in a zu a und n Wurzelfaktoren in b zu b zusammen: --> ab. Danach ziehe wieder die n-te Wurzel. mY+
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