cos x / sin x -> t=tan x/2 substituieren

01.12.2009, 22:08	TimmyHH	Auf diesen Beitrag antworten »
cos x / sin x -> t=tan x/2 substituieren Hallo, ich habe folgende Aufgabe bekommen: Die Integrale berechnen von: 1/(1+cosx) und cos²(x) / sin³(x) Dazu solle ich substituieren und zwar mit t = tan (x/2) Somit ist klar, dass ich erstmal Cosinus und Sinus so umzuformen, dass ich ja den Tangens einsetzen kann. Man weiß ja, dass cos² + sin² = 1 aber ich komm trotzdem nicht wirklich weiter, diese ganzen Theoreme der Trigonometrischen Funktionen kann ich nich so ganz anwenden. Ich hoffe ihr könnt mir ein paar Tipps geben, damit ich das hinbekomme. Grüsse, Tim
01.12.2009, 22:20	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
http://de.wikipedia.org/wiki/Generalsubstitution
01.12.2009, 22:37	T\|mmyHH	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir, ich weiß auch was rauskommt und wie ich es substituieren soll, aber es geht darum, da hin zu kommen und die Schritte aufzuschreiben. Der Rest ist ja dann quasi relativ trivial...
01.12.2009, 22:44	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \sin(2z) = 2\sin(z)\cos(z) = 2\tan(z)\cos^2(z) \qquad (1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1+\tan^2(z) = 1 + \frac{\sin^2(z)}{\cos^2(z)} = \frac{\cos^2(z)+\sin^2(z)}{\cos^2(z)} = \frac{1}{\cos^2(z)} \qquad (2) \end{eqnarray}$ . (2) in (1) ergibt $\begin{eqnarray} \sin(2z) = \frac{2\tan(z)}{1+\tan^2(z)} \end{eqnarray}$ . Schließlich hilft (2) auch noch bei $\begin{eqnarray} \cos(2z) = 2\cos^2(z)-1 = \frac{2}{1+\tan^2(z)}-1 = \frac{1-\tan^2(z)}{1+\tan^2(z)} \end{eqnarray}$ . Das ganze nun für $\begin{eqnarray} z=\frac{x}{2} \end{eqnarray}$ betrachtet.

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