Tangentialraum bestimmen

01.12.2009, 22:23	Funkiest	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentialraum bestimmen Aufgabenstellung: Sei $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2) := 3 x_1^2-2 x_2^2 + cos(\pi(x_1-x_2)) \end{eqnarray}$ . Was ist der Tangentialraum an den Graphen von f in (2,-2,5)? Erste Überlegungen: Der der Graph verläuft durch den Punkt $\begin{eqnarray} f(2,-2)=5 \end{eqnarray}$ . Ich habe die einzelnen Ableitungen gebildet und an den Gradienten zu kommen. $\begin{eqnarray} f_{x_1}(x_1,x_2)=6 x_1 - \pi sin(\pi(x_1-x_2)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{x_2}(x_1,x_2)=-4 x_2 + \pi sin(\pi(x_1-x_2)) \end{eqnarray}$ Somit habe ich dann den Gradienten aufgestellt. $\begin{eqnarray} \nabla f(x_1,x_2)= \begin{pmatrix} 6 x_1 - \pi sin(\pi(x_1-x_2)) \\ -4 x_2 + \pi sin(\pi(x_1-x_2)) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ unsere Definitionen: $\begin{eqnarray} T_{x_0} := \{x \in R^n \| (x-x_0) \nabla f(x_0) = 0\} \end{eqnarray}$ mit der Lösung $\begin{eqnarray} T_{x_0} = x_0 + (\mathbb{R} \cdot \nabla f(x_0) )^{\bot } \end{eqnarray}$ Meine Probleme: wie soll ich einen dreidimensionalen Vektor in eine Funktion einsetzen die nur zweidimensionale Argumente hat? Meine versuchten Lösungen: einfach f als 3 dimensional betrachtet aber mit x3=0. Dann sähe der Gradient so aus: $\begin{eqnarray} \nabla f(x_1,x_2,x_3)= \begin{pmatrix} 6 x_1 - \pi sin(\pi(x_1-x_2)) \\ -4 x_2 + \pi sin(\pi(x_1-x_2)) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \nabla f(x_0)= \begin{pmatrix} 12 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nun 2 von diesem Vektor linear unabhängige senkrechte Vektoren gesucht: $\begin{eqnarray} b_1= \begin{pmatrix} -8 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann sähe meine Lösung so aus: $\begin{eqnarray} T_{x_0} = x_0 + <\begin{pmatrix} -8 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ Irgendwie kommt mir diese Lösung aber nicht stimmig vor. Bitte um Hilfe hab nämlich noch mehrere Aufgaben wo die Dimensionen "nicht zusammenpassen"
02.12.2009, 09:49	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Fläche ist gegeben als skalare Funktion f(x,y) über der xy-Ebene. Mitunter ist es besser, die Fläche als Vektorfunktion zu schreiben in der Form $\begin{eqnarray} \vec{x}(\phi, \theta)=\begin{pmatrix} x(\phi, \theta) \\ y(\phi, \theta) \\ z(\phi, \theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dabei sind $\begin{eqnarray} \phi, \theta \end{eqnarray}$ die Flächenparameter. Dies kann z.B. eine Kugeloberfläche sein. In dieser Form sind die (nicht eindeutigen) Tangentialvektoren gerade die Ableitungen nach den Parametern, also $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec{x}}{\partial \phi}=\begin{pmatrix} \frac{\partial {x}}{\partial \phi} \\ \frac{\partial {y}}{\partial \phi} \\ \frac{\partial {z}}{\partial \phi} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec{x}}{\partial \theta}=\begin{pmatrix} \frac{\partial {x}}{\partial \theta} \\ \frac{\partial {y}}{\partial \theta} \\ \frac{\partial {z}}{\partial \theta} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt wenden wir das Gesagte auf die gegebene Fläche f(x,y) an und schreiben diese als Vektorfunktion $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ f(x,y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 3x^2-2y^2+cos[\pi(x-y)] \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In diesem Fall kann man x, y als Flächenparameter auffassen. Demnach erhälst Du die Tangentialvektoren wie gesagt als Ableitung der Vektorfunktion nach den Flächenparamern x bzw. y, also $\begin{eqnarray} \frac{\partial {\vec{x}}} {\partial x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 6x-\pi \cdot sin[\pi(x-y)] \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial {\vec{x}}} {\partial y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -4y+\pi \cdot sin[\pi(x-y)] \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese beiden Vektoren (oder beliebige Linearkombinationen) spannen die Tangentialebene auf. Um diese Ebene im Punkt (2\|-2,5) zu bekommen, setzt Du diesen Punkt ein und erhälst die Tangentialvektoren $\begin{eqnarray} \frac{\partial {\vec{x}}} {\partial x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 12-\pi \cdot sin(4,5 \cdot \pi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial {\vec{x}}} {\partial y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 10+\pi \cdot sin(4,5 \cdot \pi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Falls man nach den Normalvektor haben will, der senkrecht auf der Tangentialebene steht, so ist dieser das auf 1 normierte Kreuzprodukt der beiden Tangentialvektoren. Um die Tangentialeben als Gleichung darzustellen, gibt es laut Schulstoff zwei Möglichkeiten. (1) Du stellst die Ebene als Parmetergleichung dar, die von den beiden obigen Tangentialvektoren aufgespannt wird, also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2,5 \\ f(2\|-2,5) \end{pmatrix}+\frac{\partial {\vec{x}}}{\partial x} \cdot \alpha +\frac{\partial {\vec{x}}}{\partial y} \cdot \beta \end{eqnarray}$ Hierbei sind $\begin{eqnarray} \alpha , \beta \end{eqnarray}$ die Parameter der Ebene. (2) Du stellst die Ebene in der sogenannten Koordinatenschreibweise mit Hilfe des Normalvektors $\begin{eqnarray} \vec{N} \end{eqnarray}$ dar. Dann gehorchen alle Punkte (x\|y) der Ebene der Gleichung $\begin{eqnarray} 0=N \cdot (\vec{x}-\vec{x}_0) \end{eqnarray}$ Hierbei ist $\begin{eqnarray} \vec{x}_0 \end{eqnarray}$ der Berührungspunkt der Tangentialebene, also $\begin{eqnarray} \vec{x}_0 =\begin{pmatrix} 2 \\ -2,5 \\ f(2\|-2,5) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bei dieser 2.Variante musst Du noch wie oben beschrieben den Normalvektor berechnen. Viel Erfolg!

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