Äquivalenzrelation Untergruppen

02.12.2009, 12:11	pi>0	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation Untergruppen Guten Morgen, ich soll folgende Aufgabe lösen: Sei G eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe von G. Die Anzahl der Elemente von G bzw. H bezeichnen wir mit \|G\| bzw. \|H\|. a) Zeigen Sie, dass die Relation $\begin{eqnarray} a \sim b :\Leftrightarrow a^{-1}b \in H (a, b \in G) \end{eqnarray}$ eine Äquivalenzrelation auf G ist. Ich muss also nachweisen, das es reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. R: $\begin{eqnarray} x \sim x \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} a^{-1}a \in H \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} a^{-1}a \end{eqnarray}$ = 1 ist es richtig, da in einer Untergruppe das Einselement sein muss. Was ist aber mit der 0? Mit der würde es ja nicht gehen? Und bei den anderen beiden, weiß ich nicht wie ich es beweisen kann, dass es so ist, kann mir da vielleicht jemand einen Tipp geben?
02.12.2009, 13:25	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll die 0 oder die 1 denn sein? Es gibt in einer Gruppe eben ein neutrales Element, dieses bezeichnet man bei mult. Gruppen meist mit 1, könnte aber genausogut e oder sonst irgendwie dazu sagen. Eine 0 oder 1 in der Gruppe gibt es a priori also nicht. Aber reflexiv passt so. Schreib einmal symmetrisch und transitiv aus. Beachte dabei eben dass H selbst eine Gruppe ist.
02.12.2009, 13:30	pi>0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte, wenn ich a = 0 einsetze, dann bekomm ich doch keine Lösung mehr. Oder kann ich vorraussetzen das die 0 gar nicht in der Gruppe sein muss, sondern es irgendein anderes Element gibt, dass die Eigenschaft des Neutralenelements der Addition annimmt?
02.12.2009, 13:43	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Gruppe multiplikativ schreibst gibt es keine Addition! Und es gibt auch keine 0! (Ein Grund warum ich schon immer dagegen war als erste Beispiele die Zahlen als Gruppe zu nehmen, das vermittelt ein falsches Bild von Gruppen)
02.12.2009, 13:56	pi>0	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, gut. Habe es mal so versucht. S: $\begin{eqnarray} a^{-1}b \in H \Leftrightarrow b^{-1}a \in H \end{eqnarray}$ Nach R gilt $\begin{eqnarray} a^{-1}a, b^{-1}b \in H \Rightarrow a^{-1}a \cdot b^{-1}b \in H \Rightarrow a^{-1}b \cdot b^{-1}a \in H \Rightarrow a^{-1}b \in H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b^{-1}a \in H.<br /> \end{eqnarray}$ T: $\begin{eqnarray} a^{-1}b \in H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b^{-1}c \in H \Rightarrow a^{-1}c \in H \end{eqnarray}$ Nach S gilt $\begin{eqnarray} a^{-1}b \in H \end{eqnarray}$ nach Annahme von T $\begin{eqnarray} b^{-1}c \in H \Rightarrow a^{-1}b \cdot b^{-1}c \in H \Rightarrow a^{-1}c \cdot b^{-1}b \Rightarrow a^{-1}c \in H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b^{-1}b \in H \end{eqnarray}$ Kann man das so machen?
02.12.2009, 14:12	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorsicht! Du scheinst zu glauben: $\begin{eqnarray} xy \in H \Rightarrow x\in H \land y\in H \end{eqnarray}$ . Das ist falsch! Versuche bei der Symmetrie auszunutzen dass H abgeschlossen unter Inversenbildung ist. Bei Transitiv hast du den Beweis eigentlich schon, du musst es nur noch erkennen(Stichwort Kürzen!)
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