Konvergenz und Summe der Reihe

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02.12.2009, 14:03	TomTomGo	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz und Summe der Reihe Hi ich hab hier eine Aufgabe bei der ich nicht so recht weis wie ich rangehen soll. Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte. In der Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~a_n \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} a_n = c_n - c_{n-1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } c_n = c \end{eqnarray}$ . Zeige die Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~a_n \end{eqnarray}$ und bestimme deren Summe. Weiterhin soll ich diese überlegungen dann noch auf andere spezielle Reihen anwenden aber das ist erstmal nebensächlich weil ich schon bei dem ersten Teil probleme habe. Kann mir jemand ein Tipp geben? p.s: mein erstes mal latex ich hoffe es hat geklappt
02.12.2009, 14:06	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Summe der Reihe Schreibe mal die ersten Folgenglieder der Folge (a_n) hin.
02.12.2009, 14:19	TomTomGo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Summe der Reihe Ok dann habe ich folgendes $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~a_n = a_1 + a_2 +\cdot \cdot \cdot +a_{\infty} = ( c_1 - c_0 ) + ( c_2 - c_1 ) + ( c_3 - c_2 ) + ( c_4 - c_3 ) +\cdot \cdot \cdot \end{eqnarray}$ Hmm so und da kürzt sich viel raus so das nur noch die glieder $\begin{eqnarray} -c_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_{\infty} \end{eqnarray}$ übrig bleiben
02.12.2009, 14:30	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibs doch so auf : $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^\infty a_n = \lim_{n \to \infty} a_1 + a_2 + ... + a_n = \lim_{n \to \infty} (c_1 - c_0) + (c_2 - c_1) + ... + (c_n - c_{n - 1})= \lim_{n \to \infty} -c_0 + c_n = ... \end{eqnarray}$
02.12.2009, 14:35	TomTomGo	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt ^^ so siehts doch gleich schöner aus aber was mach ich jetz mit dem $\begin{eqnarray} -c_0 \end{eqnarray}$ ? der limes von $\begin{eqnarray} c_n \end{eqnarray}$ ist ja gegeben als $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} c_n = c \end{eqnarray}$
02.12.2009, 14:37	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
c0 ist doch Konstant.
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02.12.2009, 14:45	TomTomGo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_n = c - c_0 \end{eqnarray}$ oder wie? ich weis nich so recht mit dem c0 und das ist dann die Summe der Reihe und habe ich damit auch schon die Konvergenz gezeigt? Um so mehr ich drüber nachdenke umso mehr verwirrt es mich -.-
02.12.2009, 14:50	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_n = c - c_0 \end{eqnarray}$ ist falsch, richtig ist $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^\infty a_n = c - c_0 \end{eqnarray}$ Die Konvergenz hast Du gezeigt, ja. Du könntest noch per Induktion nachweisen das $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n a_i = c_n - c_0 \end{eqnarray}$ ist, wenn Du das möchtest. Daraus folgts dann aber sofort.
02.12.2009, 14:59	TomTomGo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke ja mit dem limes hab ich mich vertippt naja jetz soll ich diese überlegungen noch auf folgende spezielle Reihen anwenden: a) $\begin{eqnarray} \frac{1}{14} + \frac{1}{26} + \frac{1}{38} +\cdot \cdot \cdot \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} -\frac{3}{14} + \frac{5}{26} - \frac{7}{38} +-\cdot \cdot \cdot \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \frac{1}{123} + \frac{1}{234} + \frac{1}{345} +\cdot \cdot \cdot \end{eqnarray}$
02.12.2009, 15:21	TomTomGo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen Dank Mazze ich denke mal das bekomm ich noch hin muss dann erstmal los zum Training =)

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