injektiv / surjektiv / bijektiv (L: R^2,2 --> R^3,1) |
| 02.12.2009, 15:08 | Unskinner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| injektiv / surjektiv / bijektiv (L: R^2,2 --> R^3,1) habe folgendes Problem: gegeben ist: http://www.bilder-hochladen.net/files/ddjn-1.jpg gesucht: Überprüfen, ob die lineare Abbildung injektiv, surjektiv, bijektiv ist! ich weiß jetzt folgendes: L3 ist injektiv, falls Kern(L3)={Nullvektor} <=> dim Kern(L3)=0 und surjektiv, falls Bild(L3)=R^3,1 <=> dim Bild(L3)=dim R^3,1 Nun muss für die Injektivität ja ein Vektor des R^2,2 mit L3 gleich den Nullvektor aus R^3,1 ergeben, wenn ich da nix falsch verstanden habe! Meine Frage ist nun, wie ich diesen Vektor des R^2,2 bestimme, kann ich einfach einen Spaltenvektor nehmen oder wie funktioniert das??? Hat der Nullvektor aus R^3,1 denn auch die Form 3,1??? Ich seh da irgendwie nicht durch, brauche dringend Hilfe! Danke schonmal Andreas |
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| 02.12.2009, 15:30 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: injektiv / surjektiv / bijektiv (L: R^2,2 --> R^3,1)
Hört sich komisch an, aber du meinst das richtige, denke ich. Ein Vektor aus R^(2,2) muss durch L3 auf den Nullvektor in R^3 abgebildet werden. Welche Matrizen werden denn auf den Nullvektor abgebildet? Wenn das nur die Nullmatrix ist, dann ist L3 injektiv. |
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| 02.12.2009, 15:40 | Unskinner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
na im Prinzip doch nur die Matrix |0 0| |0 d| oder nicht? *~* aber das ist doch keine Nullmatrix, es sei denn d=0... also müsste das heißen, dass die Abb. nicht injektiv für den Fall d ungleich 0 ist? |
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| 02.12.2009, 15:41 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Was ist dann eine Basis des Kerns? Und ist L3 dann injektiv? |
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| 02.12.2009, 15:57 | Unskinner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist es denn überhaupt wichtig die Basis des Kerns zu kennen, um die Ausfgabe zu erfüllen??? Ich vermute mal: |0 0| |0 1| meine Antwort zu injektiv von L3 steht oben im editierten Post! |
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| 02.12.2009, 16:05 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Basis des Kernes ist , richtig. Das brauchst du eigentlich nicht, kannst aber jetzt über den Dimensionssatz argumentieren, ob L3 surjektiv ist. |
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| 02.12.2009, 16:35 | Unskinner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also mal zusammenfassend: L3 ist nicht injektiv, weil es nicht nur die Nullmatrix ist, die auf dem Nullvektor des R^3 abgebildet wird! Die Basis des Kerns ist: |0 0| |0 1| hat damit die Dimension 1, das müsste dann auch der Dimension des Kerns entsprechen? Dimensionssatz: dim(R^2,2)=dim(Kern(L3))+dim(Bild(L3)) d.h.: 4=1+dim(Bild(L3)) dim(Bild(L3))=3=dim(R^3,1) --> L3 ist surjektiv??? bijektiv ist es nicht, weil's nicht injektiv ist! kurze Frage zur Darstellung meiner Lösung, wie schreibt man das mathematisch korrekt auf? |
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| 02.12.2009, 16:44 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles richtig. Wie sollst du es schon aufschreiben? Schreib halt, dass alle Matrizen der Form auf die Null abgebildet werden, gib dann deine Basis an und schreib den Dimensionssatz wie oben auf. Eine Basis vom Bild brauchst du ja nicht. |
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| 02.12.2009, 16:59 | Unskinner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gut, danke alles klar! |
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