Lineare Abhängigkeit |
02.12.2009, 17:09 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lineare Abhängigkeit Habe auch noch ein Problem bei einer anderen Aufgabe. Sie lautet: Sei V ein K-Vektorraum und linear unabhängige Vektoren in V. Sei v = . Zeige, dass die Vektoren genau dann linear abhängig sind, wenn ist. Ich habe jetzt schon sowohl bei der Hin- als auch bei der Rückrichtung immer wieder versucht zu zeigen, dass das jeweilige folgt, aber bekomme es irgendwie nicht hin. Also zum Beispiel, dass sich eines der als Linearkombination der Übrigen darstellen lässt, mit Koeffizienten, die dann nicht alle = 0 sind...aber irgendwie klappt es dann nicht Wäre euch sehr dankbar über eine kleine Hilfestellung, dass ich die Aufgabe dann doch lösen kann. Danke schonmal im Voraus! |
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02.12.2009, 18:04 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Berechne mal unter der Bedingung |
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02.12.2009, 18:29 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ist das nicht einfach 0? |
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02.12.2009, 18:32 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Korrekt. Und was folgt daraus? |
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02.12.2009, 18:35 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » |
dass es linear abhängig ist dankeschön! wie fange ich bei der anderen Richtung am besten an? |
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02.12.2009, 19:10 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wir nehmen an, die Vektoren seien linear abhängig. D.h. es gibt eine nichttriviale Lösung der Gleichung Nun setzen wir Aus obiger Gleichung folgt: . Jetzt sieht man sofort, dass s nicht 0 sein kann (Warum?). Also kann man mit multiplizieren und erhält: Was folgt hieraus für ? PS: Dieser Beweis konstruiert übrigens gleichzeitig auch noch die oben schon von mir gepostete Linearkombination für die Rückrichtung (also die, die wir oben schon bewiesen haben) Sprich, wenn man da nicht durch bloßes sehen draufkommt, dann ist es spätestens hiermit auch geschafft. |
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02.12.2009, 19:22 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » |
das sind dann ja die , die dann = 1 sein müssen in der Summe. Richtig? |
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02.12.2009, 19:25 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau Ich vertrau dir dann einfach mal, dass du das dann auch formal so hinschreiben kannst. Ist ja letztendlich deine Sache. |
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02.12.2009, 19:26 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das schaff ich Ich bin dir auf jeden Fall sehr, sehr dankbar!!! Vielen lieben Dank, jetzt ist es mir auch ganz klar |
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