Lineare Abhängigkeit

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Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit
Hallo smile

Habe auch noch ein Problem bei einer anderen Aufgabe. Sie lautet:

Sei V ein K-Vektorraum und linear unabhängige Vektoren in V. Sei v = . Zeige, dass die Vektoren genau dann linear abhängig sind, wenn ist.

Ich habe jetzt schon sowohl bei der Hin- als auch bei der Rückrichtung immer wieder versucht zu zeigen, dass das jeweilige folgt, aber bekomme es irgendwie nicht hin. Also zum Beispiel, dass sich eines der als Linearkombination der Übrigen darstellen lässt, mit Koeffizienten, die dann nicht alle = 0 sind...aber irgendwie klappt es dann nicht unglücklich
Wäre euch sehr dankbar über eine kleine Hilfestellung, dass ich die Aufgabe dann doch lösen kann.

Danke schonmal im Voraus!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne mal



unter der Bedingung
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das nicht einfach 0?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. Und was folgt daraus?
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

dass es linear abhängig ist smile dankeschön!

wie fange ich bei der anderen Richtung am besten an?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wir nehmen an, die Vektoren seien linear abhängig.

D.h. es gibt eine nichttriviale Lösung der Gleichung



Nun setzen wir

Aus obiger Gleichung folgt:

.

Jetzt sieht man sofort, dass s nicht 0 sein kann (Warum?).

Also kann man mit multiplizieren und erhält:



Was folgt hieraus für ?

PS: Dieser Beweis konstruiert übrigens gleichzeitig auch noch die oben schon von mir gepostete Linearkombination für die Rückrichtung (also die, die wir oben schon bewiesen haben) smile Sprich, wenn man da nicht durch bloßes sehen draufkommt, dann ist es spätestens hiermit auch geschafft.
 
 
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

das sind dann ja die , die dann = 1 sein müssen in der Summe. Richtig?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau Freude

Ich vertrau dir dann einfach mal, dass du das dann auch formal so hinschreiben kannst. Ist ja letztendlich deine Sache.
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das schaff ich Augenzwinkern

Ich bin dir auf jeden Fall sehr, sehr dankbar!!! Vielen lieben Dank, jetzt ist es mir auch ganz klar smile
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