Darstellung geometrischer Objekte im Komplexen

08.10.2006, 23:22

think

Darstellung geometrischer Objekte im Komplexen

moin nochmal,
irgendwie schnall ich nicht, wie ich diese Aufgabe bearbeiten soll. Also der Weg, welcher eigentlich ja das Ziel sein sollte, ist mir nicht klar.

"Aufgabenstellung"
Welche geometrischen Objekte werden durch die folgenden Punktmengen im Komplexen abgebildet?

1) $\begin{eqnarray*} G = \lbrace z \in \mathbb{C} \mid \mathfrak{Re} \frac{z+1}{z-1} \geq 2 \rbrace \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} G = \lbrace z \in \mathbb{C} \mid z = 3 + i + \lambda (5-2i), \lambda \geq 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} G = \lbrace z \in \mathbb{C} \mid z=3+i+5e^{i \phi} , \phi \in \mathbb{R} \rbrace \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} G = \lbrace z \in \mathbb{C} \mid \mid z-3 \mid < 2 \mid z+3 \mid \rbrace \end{eqnarray*}$

5) $\begin{eqnarray*} G = \lbrace z \in \mathbb{C} \mid \mathfrak{Re} \left(\frac{1}{z} \right) = 1, z\neq 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

6) $\begin{eqnarray*} G = \lbrace z \in \mathbb{C} \mid \mathfrak{Im} ( z^2) \leq 2 \rbrace \end{eqnarray*}$

7) $\begin{eqnarray*} G= \lbrace z \in \mathbb{C} \mid \mathfrak{Re} ( z^2) = 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

Wenn da mal einer nen Denkanstoß hätte, würd mir das schon weiterhelfen.

Lieben Gruß, think

08.10.2006, 23:53

penizillin

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du musst dir klar machen, was die mengen beschreiben, d.h. was haben die punkte darin gemeinsam. das mit dem kreis hast du ja schon raus (im anderen thread).

hier ist (2) die einfachste aufgabe:

abgesehen davon, dass die zahlen hier aus C stammen, steht da nur soviel wie:

$\begin{eqnarray*} z = a + b*x~~|~~a, b~~const, x \geq 0 \end{eqnarray*}$

und das ist natürlich eine geradengleichung.

das bedeutet, dass alle punkte aus der menge G auf einem strahl liegen.

10.10.2006, 14:17

think

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also das mit der geraden versteh ich wohl.
habe nochmal ne Frage zu eins. Wenn ich da den Realteil berechne, komme ich auf $\begin{eqnarray*} 3\geq x \end{eqnarray*}$ , sprich für alle meine Werte in dieser Menge, ist der Realteil kleiner gleich 3.
Wie schließe ich davon denn jetzt auf das geometrische Objekt?

mfg,
think

PS: laut prof soll:
eine Kreisscheibe mit folgender Gleichung rauskommen.

$\begin{eqnarray*} (x-2)^2 +y^2\leq 1 \end{eqnarray*}$

10.10.2006, 14:39

think

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HUPS!
mir ist da glaube ich ein gravierender Fehler bei der Auflösung nach dem Realteil geschehen!
Habs nochmal nachgerechnet und komme nun auf das geforderte Ergebnis. Vielen Dank.

13.10.2006, 21:47

think

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also nach rechnung, komme ich zu dem Schluss, es handelt sich um:

3) Kreis mit Mittelpuinkt bei $\begin{eqnarray*} M= \{3,i\} \end{eqnarray*}$ und Radius $\begin{eqnarray*} r = 5 \end{eqnarray*}$

4) Außengebiet eines Kreises mit $\begin{eqnarray*} M= \{-5,0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r = 4 \end{eqnarray*}$

5) Kreis mit $\begin{eqnarray*} M= \left\{\frac{1}{2},0\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Kann das jemand bestätigen?

bei 6 und 7 hake ich jedoch weiterhin. Wenn da mal einer nen kleinen Denkanstoß hätte?

14.10.2006, 01:12

Abakus

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3) - 5) sieht richtig aus, obwohl du das Ganze erstmal genau aufschreiben müsstest (Rechnung etc). Den Mittelpunkt der Kreise solltest du als komplexe Zahl in der Form $\begin{eqnarray*} z_M = a + i \cdot b \end{eqnarray*}$ angeben.

Bei den beiden anderen Mengen kannst du genauso wie bisher vorgehen: Betrachtung von Real- und Imaginärteil getrennt via $\begin{eqnarray*} z = x + i \cdot y \end{eqnarray*}$ ; ferner weißt du, dass die komplexe Multiplikation geometrisch eine Drehstreckung ist.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

14.10.2006, 08:09

think

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ahja, ich glaube jetz hab ich das auch verstanden.

Also, wenn ich 6 auflöse, erhalte ich die Beziehung:

$\begin{eqnarray*} y\leq \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , was also dem Gebiet zwischen zwei Hyperbeln entspricht.

gleicher Prozess für 7 und man erhält zwei Geraden:

$\begin{eqnarray*} y =\pm x \end{eqnarray*}$

Das müsste doch richtig sein, oder?

Vielen Dank und großes Lob an alle, die geholfen haben.

14.10.2006, 11:47

Abakus

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Zitat:

Original von think
Also, wenn ich 6 auflöse, erhalte ich die Beziehung:

$\begin{eqnarray*} y\leq \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , was also dem Gebiet zwischen zwei Hyperbeln entspricht.

Bei dieser Auflösung würde ich unterscheiden, ob x gleich, größer, oder kleiner Null ist. Im letzteren Fall würde deine Ungleichung zB nicht stimmen.

Ansonsten ok.

Grüße Abakus smile

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