Kleine Frage zu e^x

02.12.2009, 18:21

Mathequal

Kleine Frage zu e^x

ln(e^x) ist ja x

dann ist doch ln(e^(-x) = -x

oder?

Wäre zumindest logisch.

Und wäre dann z.B.

ln (e^(x+4)) = x+4?

Das wäre episch.

02.12.2009, 18:25

Q-fLaDeN

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Ja ist richtig.

Nach dem Logarithmusgesetz ist

$\begin{eqnarray*} \ln (e^{g(x)}) = g(x) \cdot \ln e = g(x) \end{eqnarray*}$

02.12.2009, 19:40

Mathequal

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Vielen Dank erstmal!

Habe das jetzt geübt.

Noch was kleines:

Die Ableitung einer e-Funktion. Da habe ich jetzt 2 Gesetze kennen gelernt, einmal f(x)=e^x = f'(x)= e^x

Und dann eben auch

f(x)=e^(-x)=
f'(x)= -e^(-x)

Sind diese weiteren Ableitungen korrekt?:

e^(-4x)= -4e^(-4x)

e^(x^2)= xe^(x^2)

e^(2x+1)= (2+1)* e^(2x+1)

Bei der ersten bin ich mir ziemlich sicher, bei der zweiten auch noch, aber nur weil da x^2 steht und man das ja eigentlich als x*x schreiben kann und man somit wieder die Regel anwenden kann. Und die dritte hat mich total verwirrt, wegen dem +1.

Im Buch steht, man kann das durch Kettenregel und so bestimmen und Produktregel. Ich kann die, aber wie soll das gehen? Produktregel wäre ja, wenn man sowas wie 3*e^(2x) hätte uns so, aber wie geht das mit der Kettenregel?

Ist es vielleicht so (am beispiel der ersten aufgabe);

e^(-4x)

dass e die innere Funktion und -4x die äußere Funktion darstellt? Das wäre ein bischen logisch. Wir haben das in der Schule letzte Woche gemacht, aber da war ich krank, das Thema ist komplett neu und ich habe so ca. 4-6 Stunden Mathe verpasst. Hab mich jetzt rangearbeitet, aber so viele erklärungen gibt mein Mathebuch nicht her.

02.12.2009, 19:48

Mulder

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Zitat:

Original von Mathequal
Sind diese weiteren Ableitungen korrekt?:

e^(-4x)= -4e^(-4x)

e^(x^2)= xe^(x^2)

e^(2x+1)= (2+1)* e^(2x+1)

Das Gleichheitszeichen ist natürlich formal schlampig, du setzt ja nicht gleich, sondern leitest ab. Aber gut, sehen wir mal darüber hinweg. Die erste Ableitung ist noch in Ordnung. Die beiden danach sind falsch.

Schauen wir mal den zweiten an:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{(x^2)} \end{eqnarray*}$

Das ist eine Verkettung von zwei Funktionen. Dabei ist die e-Funktion die äußere Funktion (entgegen deiner Vermutung), und das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ stellt die innere Funktion dar. Wenn du das ableiten willst, wendest du die Kettenregel an: Innere mal äußere Ableitung. Okay: Ableitung der äußeren Funktion mal Ableitung der inneren Funktion.

Wie sieht die äußere Ableitung aus?

Wie sieht die innere Ableitung aus?

Und das Produkt davon?

02.12.2009, 19:48

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Mathequal
e^(-4x)= -4e^(-4x)

Richtig.

Zitat:

Original von Mathequal
e^(x^2)= xe^(x^2)

e^(2x+1)= (2+1)* e^(2x+1)

Beide falsch.

Es gilt nach der Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{g(x)} \Rightarrow f'(x) = g'(x) \cdot e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

Dein $\begin{eqnarray*} g'(x) \end{eqnarray*}$ ist beide male falsch.

Zitat:

Original von Mathequal
Produktregel wäre ja, wenn man sowas wie 3*e^(2x) hätte uns so

Das kann man zwar mit der Produktregel machen, wäre aber viel zu viel Arbeit, das geht auch schneller ohne diese Regel.

Zitat:

Original von Mathequal
Ist es vielleicht so (am beispiel der ersten aufgabe);

e^(-4x)

dass e die innere Funktion und -4x die äußere Funktion darstellt?

Andersrum. Und e^z wäre die innere Funktion, nicht e.

02.12.2009, 20:02

Mathequal

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Das heißt jetzt bei der 2. Aufgabe:

e ist die Äußere Funktion
x^2 die Innere.

Die Innere Ableitung ist demnach 2x

Und die Äußere? Ist die dann 1 oder wie? Also ich meine steht dann da "eigentlich" e^1? Das würde ja dann 1 ergeben. Ich verstehe einfach nicht, wie ich dabei eine Äußere Funktion ableiten soll.

Das gabs bei mir bis dato nur so:

f(x)=(x+3)^3
-> f'(x)= 3(x+3)^2 * 1
Also das erste ist die Äußere und die 1 die Innere.

Bei einer e-Funktion sieht das für mich völlig anders aus.

Ich brauche glaub ich noch Hilfe :'(

02.12.2009, 20:13

Mulder

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Zitat:

Original von Mathequal
Die Innere Ableitung ist demnach 2x
Und die Äußere? Ist die dann 1 oder wie? Also ich meine steht dann da "eigentlich" e^1? Das würde ja dann 1 ergeben. Ich verstehe einfach nicht, wie ich dabei eine Äußere Funktion ableiten soll.

Mach es dir nicht so kompliziert. Die e-Funktion reproduziert sich selbst beim Ableiten. Du hast eine e-Funktion, die dann im Exponenten noch eine innere Funktion da stehen hat (nennen wir die mal g(x)).

Also sowas: $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung ist dann nach Kettenregel bei der e-Funktion hier: $\begin{eqnarray*} f'(x) = g'(x) \cdot e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

Die Äußere Funktion bleibt beim Ableiten genau so erhalten. Das ist eben der Witz bei der e-Funktion (ist doch eine nette Eigenschaft). Multipliziert werden muss das dann nur noch mit der Ableitung der inneren Funktion, also das, was im Exponenten steht, abgeleitet.

Du weißt ja auch, dass, wenn $\begin{eqnarray*} f(x) = e^x \end{eqnarray*}$ , die Ableitung davon identisch ist: $\begin{eqnarray*} f'(x) = e^x \end{eqnarray*}$ . Das ist ja auch Kettenregel: Die äußere Ableitung ist einfach das $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ , und die innere Ableitung ist 1. Logisch, h(x)=x abgeleitet ergibt einfach 1.

Im Grunde also: $\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 \cdot e^x \end{eqnarray*}$

Aber da Multiplikation mit 1 ja nichts bewirkt, lässt man das eben weg. Dennoch greift auch hier die Kettenregel und nicht einfach nur "das ist so".

02.12.2009, 20:41

Mathequal

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Sind dann die Ergebnisse von der 2. und 3. Aufgabe:

2x * e^(x^2)
und
2e^(2x+1)

Also wenn das der Fall ist, dann ists wirklich sensationell leicht.

Stimmen dann auch diese Aufgaben?

1.)

e^(-Wurzelaus x) = e^(-Wurzelaus x) * (1/2) (1/Wurzelx)

= $\begin{eqnarray*} \frac{e^{-Wurzelaus x}}{2*(Wurzel aus x)} \end{eqnarray*}$

_

2)

f(x)= 2*e^(0,5x)

f'(x)= 2* 0,5 * e^(0,5x)
f'(x) = e^(0,5x)

Dabei bin ich im Ungewissen, was ich mit diesem 2* davor anstellen soll. Man könnte da ja die Produktregel anwenden, aber dann würde 2 ja immer 0 sein.... dann dachte ich noch an die Möglichkeit, dass die 2 vielleicht einfach wegfällt, weil sie einfach für sich abgeleitet wird.... schlussendlich habe ich mich dazu entschieden, sie einfach außen vor zu lassen und nachher mit ihr zu multiplizieren. War das falsch oder richtig? Wie geht man also mit Faktoren vor so eine e Funktion um?

3.)

f(x)=x-e^(x^3)
f'(x)=1- e^(x^3) * 3x^2
f'(x)= 3x^(2)*e^(x^3)-1

Da war ich mir relativ sicher, dass das x einfach für sich abgeleitet wird, da ich so eine ähnliche Aufgabe im Buch schon gelöst gefunden habe.

Fragen die bei den Aufgaben neu entstanden sind:

Ich weiß jetzt, wie ich e^(3x) usw ableite, aber was mache ich mit den anderen Gliedern einer möglichen Funktion? Ich habe die Vermutung, dass ich Summenglieder, also z.B. -1,-2,+x,-2x einfach für sich behandeln muss, sodass dann aus -2x am Ende - 2 wird. Was muss ich bei solchen Multiplikatorfaktoren machen? Zum Beispiel wie in Aufgabe 2 der neuen Aufgaben diese *2, einfach ignorieren und zum Schluss mal nehmen?

02.12.2009, 20:55

Mulder

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Zitat:

Original von Mathequal
Sind dann die Ergebnisse von der 2. und 3. Aufgabe:

2x * e^(x^2)
und
2e^(2x+1)

Also wenn das der Fall ist, dann ists wirklich sensationell leicht.

Ja, genau. smile

Zitat:

Original von Mathequal
e^(-Wurzelaus x) = e^(-Wurzelaus x) * (1/2) (1/Wurzelx)

= $\begin{eqnarray*} \frac{e^{-Wurzelaus x}}{2*(Wurzel aus x)} \end{eqnarray*}$

Den Salat kann ich nicht entziffern. Ich nehme mal an, du meinst $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ .

Verwende den Formeleditor des Forums. Und dann führe deine Rechnungen nochmal durch.

Zitat:

Original von Mathequalf(x)= 2*e^(0,5x)

f'(x)= 2* 0,5 * e^(0,5x)
f'(x) = e^(0,5x)

Das ist alles korrekt so. Die 2 ist ein konstanter Vorfaktor und macht keine Schwierigkeiten. Da brauchst du auch keine Produktregel (das würde zwar auch funktionieren, ist aber unnötig umständlich). Das war schon okay. Würdest du beispielsweise so etwas haben:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2x \cdot e^{\frac{1}{2} x} \end{eqnarray*}$

Dann müsstest du mit der Produktregel daran.

Zitat:

Original von Mathequal
3.)

f(x)=x-e^(x^3)
f'(x)=1- e^(x^3) * 3x^2

Bis hierhin stimmt es. Im nächsten Schritt hast du ja irgendwie die Vorzeichen verdreht (hatte ich zunächst übersehen, pardon).

02.12.2009, 21:10

Mathequal

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sorry doppelpost

02.12.2009, 21:11

Mathequal

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Zitat:

Original von Mathequal

Zitat:

Original von Mathequal
e^(-Wurzelaus x) = e^(-Wurzelaus x) * (1/2) (1/Wurzelx)

= $\begin{eqnarray*} \frac{e^{-Wurzelaus x}}{2*(Wurzel aus x)} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=e^{-\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$
ergibt abgeleitet
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{e^{-\sqrt{x} }}{2\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

das wollte ich übermitteln. Ist das korrekt?

________________________________________

Die dritte Ableitung ist ja korrekt, sagtest du. EDIT: Auch wenn mit verdrehtem Vorzeichen: Als Beispiel taugt sie trotzdem.

Also die hier:

f'(x)= 3x^(2)*e^(x^3)-1

Wie soll ich da mit der Produktregel weiter machen?

Die -1 würde ja wegfallen.

Produktregel:

u(x)*v(x)

ist abgeleitet

= u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x)

u(x) wäre doch dann 3x^2 und v(x) dann e^(x^3), oder?

Muss ich dann erst die e^(x^3) mit der Kettenregel auflösen, bzw. ableiten? Und dann eben die Produktregel anwenden? Das dauert doch eeeeeewig. Könnte ich auch einfach 3x^2 ableiten und dann später mit der Ableitung von e^(x^3) multiplizieren? Würde das gehen und wäre das leichter? geht das alles überhaupt so, wie ich mir das hier vorstelle? Du hast ja geschrieben, dass wenn da der faktor *2x gestanden hätte, dass man dann die Produktregel hätte anwenden müssen. Oder sagt man einfach, dass e^(x^3) abgeleitet auch e^(x^3) ergibt? Und lässt sie Innere Ableitung ganz weg und wendet dann die Produktregel an?.... Ich bin ein bischen verwirrt&verwirrend....[/quote]

02.12.2009, 21:22

Mulder

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Zitat:

Original von Mathequal
$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=e^{-\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$
ergibt abgeleitet
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{e^{-\sqrt{x} }}{2\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

das wollte ich übermitteln. Ist das korrekt?

Nicht ganz. Genau auf die Vorzeichen achten! Im Exponenten steht ein Minuszeichen vor der Wurzel, das hast du nicht berücksichtigt.

Zitat:

Original von Mathequal
f'(x)= 3x^(2)*e^(x^3)-1

Wie soll ich da mit der Produktregel weiter machen?

Also, du möchtest die erhaltene Ableitung gleich nochmal ableiten, ja? Wie in meinem Edit geschrieben war der letzte Schritt, den du da durchgeführt hast, falsch. Aber der Übung halber kannst du genau so gut mit dieser Variante weiter machen. Also:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 3x^2 \cdot e^{(x^3)}-1 \end{eqnarray*}$

Die 1 fällt hierbei beim Ableiten weg, ja. Einfach stur Produktregel einsetzen. Das ist im Grunde ähnlich leicht wie das bisherige. Die Porduktregel lautet:

$\begin{eqnarray*} (uv)' = u'v + uv' \end{eqnarray*}$

So, was ist dein $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ?

Was ist dein $\begin{eqnarray*} v? \end{eqnarray*}$

Was ist dann $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ ?

Und was ist dann $\begin{eqnarray*} v' ? \end{eqnarray*}$

Das alles einzeln bestimmen und sauber aufschreiben, und dann in die Produktregel einsetzen. Das erfordert kein Denken, nur Rechnen! Dann eventuell noch kürzen und zusammen fassen und fertig.

02.12.2009, 21:32

Mathequal

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Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Nicht ganz. Genau auf die Vorzeichen achten! Im Exponenten steht ein Minuszeichen vor der Wurzel, das hast du nicht berücksichtigt.

Ehm, ich denke doch.

$\begin{eqnarray*} - \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist umgeschrieben doch:

= $\begin{eqnarray*} -x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Und abgeleitet dann

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} *x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

das dann noch halt $\begin{eqnarray*} * e^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Oder?

02.12.2009, 21:39

Eierkopf

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Zitat:

Original von Mathequal

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} *x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

das dann noch halt $\begin{eqnarray*} * e^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Oder?

Der Term $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} *x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ ist richtig, aber Du musst mit
$\begin{eqnarray*} e^{-\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

02.12.2009, 21:42

Mathequal

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Zitat:

Mein u wäre dann 3x^2
Mein v wäre dann das e^(x^3)

u' wäre dann 6x
v' wäre dann 3x^2* e^(x^3)

Dann würde sich also ergeben:

3x^2 * e^(x^3) * 3x^2 + e^(x^3) * 6x
=6x^4*e^(x^3)+6x+e^(x^3)

02.12.2009, 21:46

Mulder

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$\begin{eqnarray*} \left ( e^{-\sqrt{x}} \right )' = \left ( -\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} } \right ) \cdot e^{-\sqrt{x}} = -\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{-\sqrt{x}} = \frac{-e^{-\sqrt{x}}}{2 \cdot \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

02.12.2009, 21:57

Mathequal

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Danke! Ich bin mir jetzt nicht sicher, ob du wegen der zweiten Seite meinen Lösungsversuch auf der ersten Seite (letzter Post) zu dieser anderen Aufgabe gesehen hast.

02.12.2009, 22:04

Mulder

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Zitat:

Original von Mathequal
Mein u wäre dann 3x^2
Mein v wäre dann das e^(x^3)

u' wäre dann 6x
v' wäre dann 3x^2* e^(x^3)

Dann würde sich also ergeben:

3x^2 * e^(x^3) * 3x^2 + e^(x^3) * 6x

Bis hierhin bin ich einverstanden. Die Umformung, die du danach gemacht hast, ist Käse.

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x^2 \cdot 3x^2 \cdot e^{x^3} + 6x \cdot e^{x^3} \end{eqnarray*}$

Links kannst du noch etwas zusammenfassen und dann kannst du $\begin{eqnarray*} e^{x^3} \end{eqnarray*}$ ausklammern.

02.12.2009, 22:16

Mathequal

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Ah, na klar. hatte irgendwie + statt das eine * geschrieben und 3*3 sind auch nicht 6 sondern 9

Somit heißt es:

(9x^4 +6x) * e^(x^3)

Ich denke das müsste jetzt stimmen.

Ich habe noch ne kleine Frage:

Bei einer Kurvendiskussion mit einer E-Funktion kann der "e-Komplex" doch nie 0 sein, oder? Weil die e Funktion ist doch so eine Asymptote oder so. Das heißt es MUSS immer z.B. 3x*e^x oder so da stehen, also dass dann das 3x Glied 0 werden muss. Ist das korrekt? Also bei der Nullstellenbestimmung.

02.12.2009, 22:19

Mulder

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Zitat:

Original von Mathequal
(9x^4 +6x) * e^(x^3)

So kommt es hin, ja.

Richtig, $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ kann nicht null werden, hat also keine Nullstellen.

02.12.2009, 22:42

Mathequal

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Das ist die letzte für heute, aber da hänge ich wirklich:

f(x)=(x^2+1)*e^(-x)
f'(x)= (x^2+1)*-e^(-x)+2x*e^(-x)
f'(x)= -x^(2)*e^(-x)-e^(-x)+2x*e^(-x)
f'(x)= e^(-x)*(-x^2+2x)-e^(-x)

Dabei stört mich, dass in der 3. Zeile dieses -e^(-x) auftaucht. Ich habe es dann einfach ignoriert, zusammengefasst und hintenan gehangen. Ist das richtig? Es entsteht ja durch multiplikation von -e^(-x) * 1.

02.12.2009, 22:52

Mulder

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Du bist bis hierhin gekommen (ist auch in Ordnung):

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{-x}(2x-x^2)-e^{-x} \end{eqnarray*}$

Klammer doch beim letzten Summanden auch noch aus:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{-x}(2x-x^2-1) \end{eqnarray*}$

-1 ist doch ebenso ein Vorfaktor wie 2x oder x². Zwingend erforderlich ist es natürlich nicht, aber es erleichtert etwaiges weiter rechnen.

02.12.2009, 22:58

Mathequal

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Danke

Und Aufleiten? lso die Stammfunktion bilden? Das geht ziemlich schwer, oder? kannst du mir bitte, bitte nur mal ein Beispiel geben, wie man aus

f(x)2*e^(0,5x-1)

die Stammfunktion bildet? Vllt. kann ichs mir dann herleiten.

02.12.2009, 23:04

Mulder

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Im Allgemeinen ist das Integrieren ("aufleiten" ist eigentlich so nicht korrekt) schwerer als das Ableiten, ja. Weil es nicht immer ein stures Kochrezept gibt. Eventuell würde ich da nun auch nicht mehr mit anfangen um diese Uhrzeit, wenn dir das noch komplett fremd ist.

f(x)2*e^(0,5x-1)

Versuche, eine Funktion zu finden, die abgeleitet wieder dein f(x) ergibt. Anhand dessen, was du in den letzten Stunden hier über die e-Funktion gelernt hast, sollte dir das noch im Kopf möglich sein.

02.12.2009, 23:10

Mathequal

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Alles klar, danke!

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