1 ^ unendlich

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02.12.2009, 18:34

sammy212

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1 ^ unendlich

Was kommt bei 1^unendlich heraus?
Mein TI Voyage 200 sagt 1! Stimmt das?

02.12.2009, 18:48

Cel

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$\begin{eqnarray*} 1^\infty := \lim\limits_{x \rightarrow \infty}1^x = 1. \end{eqnarray*}$

Taschenrechner irren sich selten. Augenzwinkern

02.12.2009, 18:52

Leopold

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Bei solchen Fragen bin ich vorsichtig mit einem Ja oder Nein. Ich vermute nämlich, daß da etwas ganz anderes dahintersteckt, als was du uns hier vorlegst. Könntest du den Zusammenhang erläutern, in dem diese Frage aufgetaucht ist?

Grundsätzlich gilt: $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist keine Zahl, also gibt es so etwas wie $\begin{eqnarray*} 1^{\infty} \end{eqnarray*}$ zunächst gar nicht, höchstens als symbolische Schreibweise für eine Limesbeziehung. Nur um eine solche kann es hier also gehen. Und da $\begin{eqnarray*} 1^x = 1 \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist, gilt natürlich auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} 1^x = 1 \end{eqnarray*}$

Symbolisch könnte man dafür $\begin{eqnarray*} 1^{\infty} = 1 \end{eqnarray*}$ schreiben. Aber Vorsicht! Wir sind hier von einer konstanten Basis ausgegangen. Bei so etwas wie

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$

geht für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ die Basis (Klammer) gegen 1, während der Exponent gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht. Durch die Koppelung der beiden Prozesse im Term gilt jedoch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \operatorname{e} \end{eqnarray*}$

Hier wäre also symbolisch $\begin{eqnarray*} 1^{\infty} = \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ zu setzen.

Und allein diese beiden Beispiele zeigen schon, daß man so etwas wie $\begin{eqnarray*} 1^{\infty} \end{eqnarray*}$ mit ganz spitzen Fingern anfassen muß. Stichwort: Unbestimmter Ausdruck.

02.12.2009, 19:00

sammy212

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Vielen Dank für die Antworten!

Hinter dieser Frage steckt kein Beispiel oder so!
Es war nur eine Diskussion auf der Uni zwischen einen Freund und mir!

Er behauptet dass es ein unbestimmter Ausdruck ist und nicht 1 ist!
Ich vertraute auf meinen TI und sagte 1! Forum Kloppe

Trotzdem Danke!

(ich werde einen Beschwerdebrief an Texas Instruments schicken! verwirrt

)

02.12.2009, 19:02

Leopold

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
$\begin{eqnarray*} 1^\infty := \lim\limits_{x \rightarrow \infty}1^x = 1. \end{eqnarray*}$

Taschenrechner irren sich selten. Augenzwinkern

Das Gegenteil ist richtig. Taschenrechner irren sich so gut wie immer. Jedenfalls, wenn man sie zur Berechnung bei reellen Zahlen verwendet. Die reellen Zahlen sind ein höchst artifizielles Produkt der Mathematik und grundsätzlich mit Rechenmaschinen nicht beherrschbar (solange diese nicht symbolisch rechnen). Es sei denn, man stellt sich auf den Standpunkt der Physiker, wonach eine reelle Zahl eine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Wolke ist. Dann irren sich Taschenrechner nicht so häufig. Augenzwinkern

02.12.2009, 19:05

Leopold

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Zitat:

Original von sammy212
(ich werde einen Beschwerdebrief an Texas Instruments schicken! verwirrt

)

Bevor du das tust, solltest du in $\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n = 1000 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n = 100000 \end{eqnarray*}$ einsetzen, falls dir das unendlich genug ist.

02.12.2009, 19:07

Cel

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Meiner hat sich jedenfalls noch nie geirrt, zumindestens für meine Zwecke. Allerdings kennst du dich da sicherlich besser aus als ich. smile

02.12.2009, 19:15

Leopold

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Letztlich geht es um die Frage: Was verstehen wir unter Wahrheit oder Irrtum? Davon hängt dann auch die Antwort auf das Taschenrechnerproblem ab.

EDIT

$\begin{eqnarray*} \left( 10^{-99} + 1 \right) \cdot 10^{99} - 10^{99} = 1 \end{eqnarray*}$

wie jeder leicht mit Papier und Bleistift nachrechnen kann. Und was sagt der Taschenrechner, wenn man den Term, wie er da steht, eingibt?

02.12.2009, 19:57

Cel

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0 ...

03.12.2009, 00:01

Leopold

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Oder noch hübscher:

$\begin{eqnarray*} \left( 10^{-93} + 1 \right) \cdot 10^{99} - 10^{99} = 1000000 \end{eqnarray*}$

Auch hier liefert der Taschenrechner 0. Gegenüber $\begin{eqnarray*} 10^{99} \end{eqnarray*}$ ist natürlich auch $\begin{eqnarray*} 1000000 = 0 \end{eqnarray*}$ , würden wohl die Physiker sagen.

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