Stetigkeit zeigen / Frage zum Ansatz

08.10.2006, 23:36

think

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Stetigkeit zeigen / Frage zum Ansatz

moin schon wieder,
also so ein paar Aufgaben produzieren doch recht große Fragezeichen in meinem Verständnis.

Es geht darum zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{z}{z-1} \end{eqnarray*}$ , definiert auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \setminus \{1\} \end{eqnarray*}$ an der Stelle 1 + i stetig ist.

Der Ansatz beginnt damit:

Sei $\begin{eqnarray*} \delta = min{ \left ( \frac{1}{2},\frac{\epsilon}{2} \right)} ... \end{eqnarray*}$ . Wie kommt man da auf die das Intervall für $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ?

Schonmal im Vorraus vielen dank, think

09.10.2006, 23:57

Abakus

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RE: Stetigkeit zeigen / Frage zum Ansatz

Zitat:

Original von think
Sei $\begin{eqnarray*} \delta = min{ \left ( \frac{1}{2},\frac{\epsilon}{2} \right)} ... \end{eqnarray*}$ . Wie kommt man da auf die das Intervall für $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ?

Das Delta ist explizit als Minimum zweier Terme definiert. Da ist kein Intervall.

Auf die Formel kommst du zB, indem du es einmal "rückwärts" und dann wieder "vorwärts" rechnest. Das ist wie in Analysis I.

Grüße Abakus smile

smile

10.10.2006, 14:18

think

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RE: Stetigkeit zeigen / Frage zum Ansatz
sry, aber wie meinst du "rückwärts" und "vorwärts" rechnen?

10.10.2006, 19:40

Abakus

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RE: Stetigkeit zeigen / Frage zum Ansatz
"rückwärts" und "vorwärts" bezieht sich auf die Schlußrichtung.

Rückwärts bedeutet, du fängst mit $\begin{eqnarray*} \mid f(z) - f(1+i) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ an und leitest eine Bedingung für das Delta her.

Vorwärts bedeutet, du fängst mit $\begin{eqnarray*} \mid z - (1+i) \mid < \delta \end{eqnarray*}$ an (wobei du Delta bereits definiert hast), und zeigst dass daraus folgt, dass die Betragsdifferenz der Funktionswerte kleiner Epsilon ist.

Grüße Abakus smile

smile

14.10.2006, 09:36

think

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RE: Stetigkeit zeigen / Frage zum Ansatz
also gut, vorwärts rückwärts verstanden.

Aber ich kann doch nur mit einem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ beginnen, wenn ich bereits weiß, was rauskommen soll, oder?

naja, unser prof. schlägt wohl auch diesen "Rückwärtsgang" ein.

Da ist jedoch eine Umformung, die ich nicht so ganz verstehen will.

er schreibt:

Sei $\begin{eqnarray*} \delta = \min \left\{ \frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{2}\right \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{z \in \mathbb{C}\mid \mid z-i-1 \mid < \delta \} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ - Umgebung

so ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung:

$\begin{eqnarray*} \mid z-1 \mid \geq \mid i\mid - \mid-z+1+i \mid > 1- \frac{1}{2}= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Aber lautet die Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen nicht:

$\begin{eqnarray*} \mid \mid z_1 \mid - \mid z_2 \mid \mid \leq \mid z_1 + z_2 \mid \leq \mid z_1 \mid + \mid z_2 \mid \end{eqnarray*}$

Mir fehlt da irgendwie der Zusammenhang zwischen der Umformung und der Dreiecksungleichung. Vielleicht is es auch einfach so einfach, dass man das einfach net sieht?

in diesem sinne, cu

14.10.2006, 11:33

Abakus

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RE: Stetigkeit zeigen / Frage zum Ansatz

Zitat:

Original von think
er schreibt:

Sei $\begin{eqnarray*} \delta = \min \left\{ \frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{2}\right \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{z \in \mathbb{C}\mid \mid z-i-1 \mid < \delta \} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ - Umgebung

so ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung:

$\begin{eqnarray*} \mid z-1 \mid \geq \mid i\mid - \mid-z+1+i \mid > 1- \frac{1}{2}= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Aber lautet die Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen nicht:

$\begin{eqnarray*} \mid \mid z_1 \mid - \mid z_2 \mid \mid \leq \mid z_1 + z_2 \mid \leq \mid z_1 \mid + \mid z_2 \mid \end{eqnarray*}$

Genau. Der Trick ist hier zu erraten, worauf die Dreiecksungleichung angewendet wurde:

$\begin{eqnarray*} \mid z-1 \mid = \mid i + z - 1 - i \mid = \mid i - (1 - z + i) \mid \geq ... \end{eqnarray*}$

Jetzt schätze nach unten ab.

Grüße Abakus smile

smile

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14.10.2006, 15:16

think

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RE: Stetigkeit zeigen / Frage zum Ansatz
also, irgendwie check ich das nich so wirklich:

also der erste Schritt ist doch nur ein Umschreiben des Nenners der Funktion durch Erweiterung mit $\begin{eqnarray*} +i, -i \end{eqnarray*}$ , oder?

und dann wird gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \mid i \mid = 1 \end{eqnarray*}$ und wie kommt man dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für den zweiten Betrag?

Irgendwie werde ich das dumpfe Gefühl nicht los, dass der Wald gerade sehr dicht ist, oder?

14.10.2006, 15:21

Mathespezialschüler

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Es gilt doch $\begin{eqnarray*} |-z+1+\operatorname i|=|z-1-\operatorname i| \end{eqnarray*}$ und das ist doch $\begin{eqnarray*} <\delta\leq\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

14.10.2006, 15:39

think

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was mir immer noch nicht ganz klar ist, ist wie man auf dieses $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ kommt?

Ist das ein Wert den ich immer annehmen kann, also sage ich einfach frei aus dem Bauch heraus, dass es den Wert von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ hat?

weil ich kann ja, meines erachtens nach, den Schluss mit dem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ nur machen, wenn ich es vorher einmal definiert habe, oder?

14.10.2006, 15:41

therisen

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RE: Stetigkeit zeigen / Frage zum Ansatz

Zitat:

Original von think
er schreibt:

Sei $\begin{eqnarray*} \delta = \min \left\{ \frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{2}\right \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{z \in \mathbb{C}\mid \mid z-i-1 \mid < \delta \} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ - Umgebung

Daher kommt das 1/2.

EDIT: Rechne erstmal zu Ende und überlege dir dann, warum das 1/2 sinnvoll ist.

14.10.2006, 21:39

think

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RE: Stetigkeit zeigen / Frage zum Ansatz
Also zuerst stelle ich die beiden Bedingungen:

$\begin{eqnarray*} I: \mid z - (1+i) \mid < \delta \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} II: \mid f(z)-f(1+i) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ auf.

Glg II. kann ich umformen (Brüche gleichnamig machen / ausmultiplizieren) und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{-(z-(1+i))}{i(z-1)} \right| < \epsilon \end{eqnarray*}$

dann die erste Glg. in die IIte einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{-\delta}{i(z-1)} \right| < \epsilon \end{eqnarray*}$

wenn, das überhaupt richtig sein sollte... wie mache ich denn dann weiter?

14.10.2006, 21:59

therisen

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Hallo,

du hast hier kein Gleichungssystem. Das sind alles Ungleichungen. Und die Art, wie du das aufschreibst, ist etwas komisch.
Ich gehe mal davon aus, dass du bisher keinen Rechenfehler gemacht hast. Mit $\begin{eqnarray*} \left| z-1 \right| > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ folgt dann weiter: $\begin{eqnarray*} \left| \frac{-\delta}{i(z-1)} \right| < \left| \frac{\delta}{\frac{1}{2}} \right| < \frac{\frac{\epsilon}{2}}{\frac{1}{2}} = \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

15.10.2006, 09:14

think

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hmm, ok, aber woher kommt nun der Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ? Ich meine den Wert weiß ich ja nur, weil der Prof das in seiner Lösung so angenommen hat? Von Vornherein kann ich da ja noch keine Aussage drüber machen?

Könnte mir da vielleicht mal einer nen Denkanstoß geben, wie ich durch Rechnen herausfinden kann, dass dieser Wert rauskommen muss?

15.10.2006, 11:52

therisen

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Du kannst auch einfach $\begin{eqnarray*} \delta := \min\left\{ \frac{1}{p}, \epsilon\left(1-\frac{1}{p}\right) \right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p > 1 \end{eqnarray*}$ wählen. Aus ästhetischen Gründen wählt man $\begin{eqnarray*} p=2 \end{eqnarray*}$ .

15.10.2006, 12:16

think

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Ich sehe wir kommen der Sache näher.
Also der Ansatz mit dem $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist der Allgemeine Ansatz.
Aus Ästhetikgründen nimmt man aber die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ .
Es ist mir aber freigestellt, welchen Wert ich für p nehme?

Kann ich den Ansatz für $\begin{eqnarray*} p=2 \end{eqnarray*}$ immer machen?

in diesem Sinne, lieben Gruß, think

15.10.2006, 12:41

therisen

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Ne, der allgemeine Ansatz ist das nicht. Die einzige Schwierigkeit bei der Aufgabe ist, eine Abschätzung nach unten für $\begin{eqnarray*} |z-1| \end{eqnarray*}$ zu finden. Der springende Punkt ist $\begin{eqnarray*} +i-i \end{eqnarray*}$ zu addieren und dann geeignet abzuschätzen. Hat man dies gemacht, muss man schauen, wie man den Zähler geeignet nach oben abschätzen kann, damit der Bruch den Wert $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ hat. Aus der speziellen Gestalt des Zählers folgt die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{x}{1-\delta} < \epsilon \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x < \epsilon(1-\delta) \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ muss schon mal $\begin{eqnarray*} \delta < 1 \end{eqnarray*}$ gelten. Also ist jeder Bruch kleiner 1 und größer 0 für unsere Zwecke geeignet.

EDIT: So ganz sauber ist das jetzt nicht aufgeschrieben, aber der grundsätzliche Gedankengang sollte ersichtlich sein.

Gruß, therisen

15.10.2006, 13:51

think

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Also nochmal zusammengefasst:

Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{z}{z-1} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 1+i \end{eqnarray*}$ stetig ist. Hierzu stelle ich auf:

I: $\begin{eqnarray*} \mid z-(1+i) \mid < \delta \end{eqnarray*}$
II: $\begin{eqnarray*} \mid f(z) - f(1+i) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

damit komme ich dann auf die Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \bigg | \frac{\delta}{z-1} \bigg | <\epsilon \end{eqnarray*}$

Nun betrachte ich nur:
$\begin{eqnarray*} \mid z-1 \mid \end{eqnarray*}$

das kann ich mit der Dreieckungleichung für komplexe Zahlen zu:

$\begin{eqnarray*} 1- \delta \end{eqnarray*}$ umformen

und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{1-\delta} < \epsilon \end{eqnarray*}$

da ja $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ sein müssen, muss also $\begin{eqnarray*} \delta < 1 \end{eqnarray*}$ (sonst wird der Nenner des Bruchs ja negativ) sein.

Somit ergbit sich: $\begin{eqnarray*} 0 < \delta < 1 \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{p}<\epsilon \end{eqnarray*}$ wobei jetzt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ irgendein Bruch ist, der größer 0 und kleiner 1 ist?

Letzendlich erhält man dann ja : $\begin{eqnarray*} 2\delta < \epsilon \end{eqnarray*}$ .
Könnte da auch $\begin{eqnarray*} 3\delta <\epsilon \end{eqnarray*}$ stehen, oder sonst eine x-beliebige Zahl?

vielen Dank, schonmal für Mühen und Arbeit, in diesem Sinne, think

15.10.2006, 14:07

therisen

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Ne, so ganz hast du es noch nicht geblickt. Und das mit "I" und "II" ist auch seltsam. Außerdem kannst du $\begin{eqnarray*} |z-1| \end{eqnarray*}$ nicht zu $\begin{eqnarray*} 1-\delta \end{eqnarray*}$ umformen.

Also nochmal: Dein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ muss einmal einen festen Wert annehmen können (um den Nenner abzuschätzen) und einmal von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängen, damit man den Zähler dann nach oben abschätzen kann und zum Schluss der ganze Bruch den Wert $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ hat.

Wenn wir jetzt $\begin{eqnarray*} \delta := \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < p < q \end{eqnarray*}$ wählen, dann haben wir die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |z-1|>1-\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ . Wenn jetzt auch noch $\begin{eqnarray*} \delta < \epsilon\left(1-\frac{p}{q} \right) \end{eqnarray*}$ gilt, ist der gesamte Bruch kleiner als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ . Also wählen wir $\begin{eqnarray*} \delta := \min\left\{\frac{p}{q}, \epsilon\left(1-\frac{p}{q} \right) \right\} \end{eqnarray*}$ , damit das gewährleistet ist. Jetzt klar?

Gruß, therisen

15.10.2006, 14:30

think

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hmm, ok, ich glaube so langsam seh ich da licht am ende des tunnels...

und wie kommt man jetzt auf $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Ästhetik?

15.10.2006, 18:45

therisen

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Ja, weil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gilt.

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