Stetigkeit der Faltung

02.12.2009, 19:47

Seren

Stetigkeit der Faltung

Hiho,
folgendes Problem steht bei mir an:

Es seien $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ messbare Funktionen.Weiter sei $\begin{eqnarray*} f \in L^1(\mathbb{R;C}), g \end{eqnarray*}$ sei beschränkt. Man zeige: die Faltung $\begin{eqnarray*} (f*g) \end{eqnarray*}$ ist stetig.

Meine Gedanken dazu sind Folgende:

Erstmal haben wir die Faltung folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} (f*g)(x) := \frac{1}{2\pi} \int_\mathbb{R} f(u)g(x-u)\ du \end{eqnarray*}$

So, dann habe ich versucht einen $\begin{eqnarray*} \epsilon - \delta \end{eqnarray*}$ Beweis zu führen. Also los gehts:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gegeben. Dann folgt: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon\ >\ 0\ \exists\ \delta\ >\ 0\ :\ |x-x_0|< \delta \to|(f*g)(x)-(f*g)(x_0)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Also rechne ich aus:
$\begin{eqnarray*} |(f*g)(x)-(f*g)(x_0)| = |\frac{1}{2\pi} \int_\mathbb{R} f(u)g(x-u)\ du- \frac{1}{2\pi} \int_\mathbb{R} f(u)g(x_0-u)\ du| \\ =\frac{1}{2\pi}|\int_\mathbb{R} f(u)g(x-u)\ du- \int_\mathbb{R} f(u)g(x_0-u)\ du|\\ \leq \frac{1}{2\pi}|\int_\mathbb{R} f(u)\ du\int_\mathbb{R}g(x-u)\ du- \int_\mathbb{R} f(u)\ du\int_\mathbb{R}g(x_0-u)\ du|\\ \leq \frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R} |f(u)|\ du\cdot \int_\mathbb{R}|g(x-u) - g(x_0-u)|\ du \end{eqnarray*}$

und an dieser Stelle komme ich nicht weiter .. Da $\begin{eqnarray*} f \in L^1(\mathbb{R;C}) \end{eqnarray*}$ , ist f beschränkt, g ist auch beschränkt, die Differenz sowieso. Und dennoch kann es nicht kleiner werden als ein beliebiges Epsilon.
Hab ich irgendwas übersehen oder beim umformen Unfug gemacht oder muss man das irgendwie ganz anders angehen?

ich freue mich über Ideen

Seren

02.12.2009, 20:14

Sly

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Dein Ansatz scheint mir etwas zu kompliziert. Außerdem gibt es einen Fehler: f muss NICHT beschränkt sein.

Aber es geht anders, und zwar ziemlich einfach. Verwende die Standardabschätzung

$\begin{eqnarray*} \int |f\cdot g|~d\mu \leq \|g\|_\infty \int |f|~d\mu \end{eqnarray*}$

Diese gilt für jedes beschränkte g und integrierbares f...solltet ihr in eurer Vorlesung gemacht haben.
Wende sie passend an und du kommst schnell auf die Behauptung Augenzwinkern

/edit: Ach jetzt sehe ich es erst, deshalb war ich von deinem Ansatz so verwirrt. Irgendwie versuchst du die Stetigkeit der Faltung nachzuweisen

Aber das sollst du doch gar nicht. Ist nämlich auch falsch.

02.12.2009, 20:18

Seren

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Ich hab mich oben verschrieben unglücklich

Und ich muss tatsächlich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (f*g) \end{eqnarray*}$ stetig ist und nicht beschränkt wie oben steht .

Zitat:

Original von Sly
Dein Ansatz scheint mir etwas zu kompliziert. Außerdem gibt es einen Fehler: f muss NICHT beschränkt sein.

Okay, das ist evtl. etwas schlampig formuliert. $\begin{eqnarray*} f \in L^1 => \int_\mathbb{R} |f(x)|\ dx < \infty \end{eqnarray*}$ , also beschränkt.

02.12.2009, 21:26

Sly

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Okay. Das ist etwas anspruchsvoller, aber machbar.

Also, es gilt ja

$\begin{eqnarray*} |(f*g)(x)-(f*g)(x_0)| = \frac{1}{2\pi} \left| \int_\mathbb{R} f(u)(g(x-u)-g(x_0-u))~du \right| \leq \frac{\|g\|_\infty}{\pi} \int_\mathbb{R} |f(u)|~du \end{eqnarray*}$
Wohlbemerkt gilt selbige Abschätzung, wenn man nur über Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ integriert.

Wir wissen, dass die rechte Seite integrierbar ist. Also können wir uns ein $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ wählen, sodass gilt

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}\setminus [-r,r]} |f| ~d\lambda < \frac{\pi\epsilon}{2\|g\|_\infty} \end{eqnarray*}$

Also folgt

$\begin{eqnarray*} \left| \int_{\mathbb{R}\setminus [-r,r]} f(u)(g(x-u)-g(x_0-u))~du \right| < \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

Nun ist also die nächste Aufgabe, das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-r}^r f(u) (g(x-u)-g(x_0-u))~du \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ abzuschätzen. Und genau da kommt das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ins Spiel.

02.12.2009, 21:51

Seren

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Nein, g ist tatsächlich nur beschränkt.

Dann würde ich sowas machen:

Sei $\begin{eqnarray*} c:= \frac{1}{2\pi} \int_{-r}^r |f(u)| du \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f\in L^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi} \int_{-r}^r f(u) (g(x-u)-g(x_0-u))~du \leq\frac{1}{2\pi} \int_{-r}^r f(u) \int_{-r}^r (g(x-u)-g(x_0-u)) \leq c \cdot ||g||_\infty |x-x_0| < \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \delta= \frac{\epsilon}{2\cdot c \cdot ||g||_\infty} \end{eqnarray*}$ .

02.12.2009, 23:25

Sly

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Wie kommst du auf die vorletzte Ungleichheit? Das solltest du schon genauer begründen...

02.12.2009, 23:28

Seren

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ich habe einfach folgendes benutzt:

$\begin{eqnarray*} ||f(x)|| \leq ||f||\cdot ||x|| \end{eqnarray*}$

02.12.2009, 23:32

Sly

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Das ist falsch. Siehe f = 1, x=0.

02.12.2009, 23:35

Seren

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Hmm .. wie soll ich dann abschätzen? Wie krieg ich das Delta denn sonst da rein?

02.12.2009, 23:41

Sly

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Alles will ich auch nicht verraten...aber versuch es dir doch mal anschaulich vorzustellen:

$\begin{eqnarray*} g(x-u), g(x_0-u) \end{eqnarray*}$ sind gegeneinander verschobene Funktionen. Wie sehr, hängt davon ab, welchen Abstand $\begin{eqnarray*} x,x_0 \end{eqnarray*}$ haben.
Nun kannst du dir leicht vorstellen, dass wenn diese Verschiebung klein ist, dann ist auch der Unterschied klein, wenn man beide Funktionen über das Intervall integriert.

Das musst du jetzt aber formal korrekt aufschreiben Augenzwinkern

Und das ist das eigentliche Problem hinter der Aufgabe

03.12.2009, 15:44

Seren

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In der Tat, der Zusammenhang mit der Stetigkeit erscheint mir einleuchtend, nur das aufs Papier zu bringen ist nicht ganz einfach.

Danke dir

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