Reihe soll gegen e konvergieren

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Jako Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe soll gegen e konvergieren
Hallo,

ich habe eine Aufgabe und finde dazu leider nicht einmal einen Ansatz. Ich soll zeigen, dass die Reihe



gegen e (eulersche Zahl) konvergiert.

Kann mir jemand mit einem Tipp für einen Ansatz helfen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie habt ihr denn e definiert?
Jako Auf diesen Beitrag antworten »

e war definiert als:
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst 2 Sachen zeigen:

(1)


(2)


Daraus folgt sofort die Konvergenz gegen e.

(1) ist sehr einfach. Einfach nur den Term auf der linken Seite mit dem binomischen Satz umformen und dann sieht man es relativ schnell.

Bei (2) muss man schon etwas trickreicher vorgehen. Aber erstmal kümmern wir uns um (1).
Jako Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(1) ist sehr einfach. Einfach nur den Term auf der linken Seite mit dem binomischen Satz umformen und dann sieht man es relativ schnell.


Naja, so einfach fällt das mir gar nicht (von (2) ganz zu schweigen). Wenn ich folgendes mit dem binomische Satz umforme:



erhalte ich:



das fällt mir aber schwer, dass mit zu vergleichen.

Die Summe ist ja so etwas:


z.B. wäre ja :




wie kann ich das vergleichen? Also sagen, welches tendenziell größer ist?

vielen Dank.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jako
erhalte ich:



Das mußt du schon genauer fassen:



Jeden einzelnen Faktor im Zähler kannst du nun nach oben durch n abschätzen. Augenzwinkern

Im übrigen konvergiert gegen e und nicht wie du in deinem ersten Beitrag geschrieben hast.
 
 
Explo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit



Jeden einzelnen Faktor im Zähler kannst du nun nach oben durch n abschätzen. Augenzwinkern


Sry, wenn sich das vielleicht nen bissl doof anhört..

also bis dahin hab ichs nun auch nachvollziehen können ..
aber was meinst du mit gegen n abschätzen? bzw. wie komm ich von da auf die summe ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Güte. unglücklich

Es ist n-k+1 <= n, n-k+2 <= n, ..., n-1 <= n.

Wieviele Faktoren stehen da? Richtig: k Stück.
Also ist der Zähler <= n^k .
Explo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sry i.wie hab ich diesen zündenden Mathefunken noch nicht gefunden verwirrt

also hab ich ja nun gezeigt, dass die Folge <= der Reihe ist und andersrum?
TommyLon Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Idee, einfach die beiden Richtungen zu zeigen, um dann auf Gleichheit zu schließen it sehr schön. Auch die erste Richtung, hier als (1) bezeichnet, ist sehr gut nachollziehbar, ich habe diesen Schritt ähnlich gemacht.
Jedoch fehlt auch mir ein Ansatz für (2).

klarsoweit (oder jeamnd anderes): Ich wäre ebenfalls an einem Ansatz für die zweite Ungleichung interessiert. Ich sage mal: UP smile
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Ansatz für (2) wäre folgender:

Sei und .

Dann ist

.

Nun lasse mal in dieser Ungleichung n gegen unendlich gehen.
TommyLon Auf diesen Beitrag antworten »

Ich müsste nun also den zweiten Teil der Ungleichung zu meinem gesuchten Term umformen?

Wenn ich die Summe ausschreibe und ein wenig umforme:



Nun könnte ich:



schreiben...
Könnte ich den Bruch (den Faktor jeweils vor 1/k!) nun gegen 1 abschätzen, wobei er immer etwas kleiner ist, als 1? Dann würde ich ja genau auf



kommen... oder?
Explo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Ein Ansatz für (2) wäre folgender:

Sei und .

Dann ist

.

Nun lasse mal in dieser Ungleichung n gegen unendlich gehen.


dabei sollte man n und m vielleicht tauschen oder?
Also ist nur ne kleinigkeit.

Weil ich will halt zeigen, dass die summe bis n kleiner als e ist .. also setz ich m am besten größter, dann zeige ich, dass die summe bis m = e ist und hab damit, dass die summe bis n kleiner als e ist
=> Summe = e

oder?

Edit: ach neh .. ich kann ja nur zeigen, dass die summe bis m größer als e ist .. arrrgh xDD
*weiterdenk*
Explo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TommyLon

Könnte ich den Bruch (den Faktor jeweils vor 1/k!) nun gegen 1 abschätzen, wobei er immer etwas kleiner ist, als 1? Dann würde ich ja genau auf



kommen... oder?


glaub, da du dann abschätzt müsstest du das mit kleiner gleich setzen ... womit wir dann auf folgendes kommen, was uns aber i.wie nich weiterbringt



oder?
Jako Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ein Ansatz für (2) wäre folgender: Sei und . Dann ist . Nun lasse mal in dieser Ungleichung n gegen unendlich gehen.


das hat ja irgendwie bei niemandem geklappt. Hat jemand noch ne Idee?
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