Reihe soll gegen e konvergieren |
02.12.2009, 22:08 | Jako | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Reihe soll gegen e konvergieren ich habe eine Aufgabe und finde dazu leider nicht einmal einen Ansatz. Ich soll zeigen, dass die Reihe gegen e (eulersche Zahl) konvergiert. Kann mir jemand mit einem Tipp für einen Ansatz helfen? |
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02.12.2009, 22:30 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie habt ihr denn e definiert? |
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02.12.2009, 22:36 | Jako | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
e war definiert als: |
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03.12.2009, 11:02 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst 2 Sachen zeigen: (1) (2) Daraus folgt sofort die Konvergenz gegen e. (1) ist sehr einfach. Einfach nur den Term auf der linken Seite mit dem binomischen Satz umformen und dann sieht man es relativ schnell. Bei (2) muss man schon etwas trickreicher vorgehen. Aber erstmal kümmern wir uns um (1). |
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03.12.2009, 13:33 | Jako | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, so einfach fällt das mir gar nicht (von (2) ganz zu schweigen). Wenn ich folgendes mit dem binomische Satz umforme: erhalte ich: das fällt mir aber schwer, dass mit zu vergleichen. Die Summe ist ja so etwas: z.B. wäre ja : wie kann ich das vergleichen? Also sagen, welches tendenziell größer ist? vielen Dank. |
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03.12.2009, 14:04 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das mußt du schon genauer fassen: Jeden einzelnen Faktor im Zähler kannst du nun nach oben durch n abschätzen. Im übrigen konvergiert gegen e und nicht wie du in deinem ersten Beitrag geschrieben hast. |
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04.12.2009, 17:59 | Explo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sry, wenn sich das vielleicht nen bissl doof anhört.. also bis dahin hab ichs nun auch nachvollziehen können .. aber was meinst du mit gegen n abschätzen? bzw. wie komm ich von da auf die summe ? |
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04.12.2009, 18:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meine Güte. Es ist n-k+1 <= n, n-k+2 <= n, ..., n-1 <= n. Wieviele Faktoren stehen da? Richtig: k Stück. Also ist der Zähler <= n^k . |
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04.12.2009, 18:35 | Explo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja sry i.wie hab ich diesen zündenden Mathefunken noch nicht gefunden also hab ich ja nun gezeigt, dass die Folge <= der Reihe ist und andersrum? |
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05.12.2009, 16:01 | TommyLon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also die Idee, einfach die beiden Richtungen zu zeigen, um dann auf Gleichheit zu schließen it sehr schön. Auch die erste Richtung, hier als (1) bezeichnet, ist sehr gut nachollziehbar, ich habe diesen Schritt ähnlich gemacht. Jedoch fehlt auch mir ein Ansatz für (2). klarsoweit (oder jeamnd anderes): Ich wäre ebenfalls an einem Ansatz für die zweite Ungleichung interessiert. Ich sage mal: UP |
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05.12.2009, 18:25 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Ansatz für (2) wäre folgender: Sei und . Dann ist . Nun lasse mal in dieser Ungleichung n gegen unendlich gehen. |
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06.12.2009, 13:28 | TommyLon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich müsste nun also den zweiten Teil der Ungleichung zu meinem gesuchten Term umformen? Wenn ich die Summe ausschreibe und ein wenig umforme: Nun könnte ich: schreiben... Könnte ich den Bruch (den Faktor jeweils vor 1/k!) nun gegen 1 abschätzen, wobei er immer etwas kleiner ist, als 1? Dann würde ich ja genau auf kommen... oder? |
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06.12.2009, 16:28 | Explo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dabei sollte man n und m vielleicht tauschen oder? Also ist nur ne kleinigkeit. Weil ich will halt zeigen, dass die summe bis n kleiner als e ist .. also setz ich m am besten größter, dann zeige ich, dass die summe bis m = e ist und hab damit, dass die summe bis n kleiner als e ist => Summe = e oder? Edit: ach neh .. ich kann ja nur zeigen, dass die summe bis m größer als e ist .. arrrgh xDD *weiterdenk* |
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06.12.2009, 16:41 | Explo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
glaub, da du dann abschätzt müsstest du das mit kleiner gleich setzen ... womit wir dann auf folgendes kommen, was uns aber i.wie nich weiterbringt oder? |
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06.12.2009, 20:02 | Jako | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das hat ja irgendwie bei niemandem geklappt. Hat jemand noch ne Idee? |
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