Exponentialfunktion im Komplexen

03.12.2009, 10:31	Daniel45b	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion im Komplexen Folgende Formel soll bewiesen werden: $\begin{eqnarray} e ^{2i\vartheta}= \frac{1+ i \tan{\vartheta}}{1- i \tan{\vartheta}} , \hspace{2em} \vartheta \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Durch Einsetzen $\begin{eqnarray} \tan{\vartheta} = x \end{eqnarray}$ soll folgen: $\begin{eqnarray} \arctan{x}= \frac{1}{2i} \ln{\frac{1+ix}{1-ix}} \end{eqnarray}$ In der VL haben wir folgendes aufgeschrieben: $\begin{eqnarray} e^{i\varphi}=\cos{\varphi} + i \sin{\varphi} \end{eqnarray}$ kann ich mit dem Ansatz: $\begin{eqnarray} e^{2i \vartheta} = \cos{2\vartheta}+ i \sin{\vartheta} \end{eqnarray}$ weitermachen, und dann über die Additionstheoreme auf die Formel kommen? oder ist das ganz falsch gedacht?
03.12.2009, 11:14	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst wohl $\begin{eqnarray} e^{2i \vartheta} = \cos{2\vartheta}+ i \sin{2\vartheta} \end{eqnarray}$ . Ja, damit kommst du letztendlich zum Ziel. Kleiner Tipp: Nachdem du die Additionstheoreme für $\begin{eqnarray} \sin 2x \end{eqnarray}$ uns $\begin{eqnarray} \cos 2x \end{eqnarray}$ angewendet hast, multiplizierst du einfach mit $\begin{eqnarray} \frac{1-i \tan \vartheta}{1-i \tan \vartheta} \end{eqnarray}$ . Danach formst du den Zähler um und kommst auf das gewünschte $\begin{eqnarray} 1+i \tan \vartheta \end{eqnarray}$ (Du brauchst ab dann kein Additionstheorem mehr. Nur den trigonometrischen Pythagoras und $\begin{eqnarray} \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \end{eqnarray}$ )
03.12.2009, 11:16	Kühlkiste	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialfkt. Nö, das ist richtig gedacht. Allerdings solltest Du mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} e^{2i\vartheta}=\cos(2\vartheta)+i\sin(2\vartheta) \end{eqnarray}$ weitermachen. Du brauchst dann folgende Identitäten (die jeweils leicht zu beweisen sind): $\begin{eqnarray} \cos(2x)=\frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin(2x)=\frac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)}. \end{eqnarray}$

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