Körpergrad 2

03.12.2009, 11:33	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Körpergrad 2 Hallo Ihr, Der körpergrad einer quadratische Körperweiterung $\begin{eqnarray} L/K \end{eqnarray}$ ist ja gerade $\begin{eqnarray} [L:K]=2 \end{eqnarray}$ . jetzt sei $\begin{eqnarray} \alpha\in L \end{eqnarray}$ aber nicht in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . Jetzt folgt anscheinend $\begin{eqnarray} L=K(\alpha) \end{eqnarray}$ . Ich ich habe mir das so hergeleitet. die $\begin{eqnarray} dim_K L=2 \end{eqnarray}$ wegen Körpergrad, also ist $\begin{eqnarray} L=span(l_1,l_2) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} l_1,l_2\in L \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} K\subset L \end{eqnarray}$ ist z.B. $\begin{eqnarray} (l_1=1, l_2=\alpha) \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ verstanden als Vektoraum über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . Also kann ich sagen $\begin{eqnarray} L=span(\alpha^0,\alpha^1)=\{a+b\alpha \| a,b\in K\} \end{eqnarray}$ woraus dann folgt, dass $\begin{eqnarray} L=K(\alpha) \end{eqnarray}$ stimmt das? ist das zu kompliert? Grüße, Schmouky
03.12.2009, 12:55	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Es stimmt, wäre aber zu kompliert, wenn ihr den Gradsatz für Körpererweiterungen schon gemacht habt...
03.12.2009, 14:09	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradsatz ist der $\begin{eqnarray} K\subset Z\subset L \end{eqnarray}$ Z/K L/Z jeweils körpererweiterungen, dann ist $\begin{eqnarray} [L:K]=[L:Z][Z:K] \end{eqnarray}$ jetzt kann ich sagen, okay ich weiß $\begin{eqnarray} [L:K]=[L:Z][Z:K]=2 \end{eqnarray}$ alles klar... dann weiß ich $\begin{eqnarray} K\subset K(\alpha) \end{eqnarray}$ (echte inklusion) da $\begin{eqnarray} \alpha\not\in K \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} [K(\alpha):K]=2 \end{eqnarray}$ Dann nehme ich $\begin{eqnarray} K(\alpha) \end{eqnarray}$ als Zwischenkörper. $\begin{eqnarray} [L:K]=[L:K(\alpha)][K(\alpha):K]=[L:K(\alpha)]\cdot 2=2\Rightarrow [L:K(\alpha)]=1 \end{eqnarray}$ das stimmt, das ist weniger kompliert, falls es so stimmt.

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