Grenzwertberechnung...

03.12.2009, 16:02

bandchef

Grenzwertberechnung...

Hi!

Folgende Grenzwerte hab ich schon berechnet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} ln(\frac{x}{2x-1})\Rightarrow\lim_{x \to \infty} ln(\frac{1}{2})\Rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} ln(\frac{x}{2x-1})\Rightarrow\lim_{x \to \infty} ln(\frac{1}{2})\Rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir sagen ob meine berechneten Ergebnisse richtig sind?

Folgende Grenzwerte soll ich noch berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-} ln(\frac{x}{2x-1}) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0,5+} ln(\frac{x}{2x-1}) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe aber leider nicht wie ich dieses Minus (also von links an Null rangehen) und dieses Plus (also von rechts an 0,5 rangehen) in meiner Grenzwertberechnung berücksichtigen soll...

Könnt ihr mir helfen?

danke, bandchef

03.12.2009, 16:43

Q-fLaDeN

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Zuerst zur 1. Aufgabe:

Erstmal ist da ein grober formaler Fehler, denn das Limes darf beim 2. Schritt nicht mehr mit dort stehen. Und seit wann ist $\begin{eqnarray*} \ln(0.5) = -\infty \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Beim Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x \to - \infty \end{eqnarray*}$ das gleiche.

Bei der 2. Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-} \ln \left(\frac{x}{2x-1}\right) \end{eqnarray*}$

würde ich die Substitution $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 n \end{eqnarray*}$ vorschlagen.

03.12.2009, 18:04

bandchef

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} ln(\frac{x}{2x-1})\Rightarrow ln(\frac{1}{2})\Rightarrow ~-0,69 \end{eqnarray*}$

Ist es jetzt so richtig?

Wie kommst du auf die Substitution: $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 n \end{eqnarray*}$

03.12.2009, 18:25

Q-fLaDeN

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Nein auch nicht richtig. $\begin{eqnarray*} \ln\left(\frac{1}{2}\right) \neq -0,69 \end{eqnarray*}$

Lass $\begin{eqnarray*} \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 \end{eqnarray*}$ doch einfach so stehen Augenzwinkern

Wie lautet dann der andere Grenzwert?

Wie ich auf die Substitution komme? Das ist 1. eine gängige Methode solche Grenzwerte zu berechnen und 2. Erfahrung, auch wenn ich davon noch nicht allzuviel habe.

03.12.2009, 18:47

bandchef

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der andere Grenzwert lautet doch auch $\begin{eqnarray*} \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 \end{eqnarray*}$ , oder?

danke, bandchef

03.12.2009, 19:09

Q-fLaDeN

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Richtig.

04.12.2009, 20:23

bandchef

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Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-} ln(\frac{x}{2x-1}) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 n \end{eqnarray*}$ substituiere, dann bekomm ich doch im ersten schritt das hier raus, oder? $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0-} ln(\frac{\frac{1}{n}}{2*\frac{1}{n}-1}) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

Ich verstehe übrigens immer noch nicht warum du hier so substituierst...

Warum darf ich eigentlich in die Funktion $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-} ln(\frac{x}{2x-1}) \end{eqnarray*}$ nicht einfach "0-" einsetzen und somit den Grenzwert berechnen? Dürfte ich eigentlich die l'Hospital'sche regel anwenden?

Gibt es eigentlich eine Übersicht, in der alle möglichen Fälle aufgezeigt werden, bei der man l'Hospital anwenden darf ( $\begin{eqnarray*} \frac{\pm\infty}{\pm\infty} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ usw...) und in der auch alle Fälle aufgezeigt werden wo man l'Hospital nicht anwenden darf?

danke, bandchef

04.12.2009, 23:02

Q-fLaDeN

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Warum man das so machen KANN und wie man darauf kommt, hab ich dir schon gesagt.

Beim Substituieren von Grenzwerten kann man nicht einfach x und 1/n austauschen, sondern muss den Limes auch noch berücksichtigen.

Mit $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 n \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-} \ln\left(\frac{x}{2x-1}\right) = \lim_{n \to \infty}\ln\left(\frac{-\frac 1 n}{-\frac 2 n - 1}\right) \end{eqnarray*}$

Da x zusätzlich von der linken Seite gegen 0 geht, muss man vor das 1/n ein Minus schreiben. Denn -1/n wird ja für n gegen Unendlich fast 0, bleibt aber negativ, eben genau so wie das $\begin{eqnarray*} x^- \end{eqnarray*}$ für x gegen 0

Bei solchen Funktionen würde ich die 0 nicht einfach einsetzen, zumal das hier gar nicht geht (nicht stetig in x = 0). Da aber x nicht gleich 0 ist, sondern gegen 0 geht, kann man die 0, unter Berücksichtigung, dass diese negativ ist, schon "einsetzen". Ich finde jedoch, dass das immer eine etwas gewagte Situation darstellt. Auf L'Hospital würde ich immer nur im "Notfall" zurückgreifen, denn die meisten Grenzwerte sind auch ohne diese Regel machbar.

05.12.2009, 14:00

bandchef

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Ich verstehe nicht, warum man nach der Substitution von x den Limes gegen "Unendliche" bestimmen muss... Kannst du da noch genauer drauf eingehen?

Zitat:

Da aber x nicht gleich 0 ist, sondern gegen 0 geht, kann man die 0, unter Berücksichtigung, dass diese negativ ist, schon "einsetzen". Ich finde jedoch, dass das immer eine etwas gewagte Situation darstellt.

Wie soll ich denn dann den Grenzwert berechnen wenn ich nicht Null einsetzen soll bzw. es eine gewagt Situation ist?

Zitat:

Wie ich auf die Substitution komme? Das ist 1. eine gängige Methode solche Grenzwerte zu berechnen und 2. Erfahrung, auch wenn ich davon noch nicht allzuviel habe.

Es ist also die Funktion an sich die dir sagt wann du Substituieren musst? Welche Funktionen sind das? Gibts eine "Regel"? Und wenn man dann weiß welche Funkionen das sind woher weiß ich dann wie ich substituieren muss?

danke, bandchef

05.12.2009, 14:56

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von bandchef
Ich verstehe nicht, warum man nach der Substitution von x den Limes gegen "Unendliche" bestimmen muss... Kannst du da noch genauer drauf eingehen?

Weil eben

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-} x = 0^- = \lim_{n \to \infty}-\frac 1 n \end{eqnarray*}$

gilt. Die beiden Grenzwerte sind also gleichbedeutend.

Zitat:

Original von bandchef
Wie soll ich denn dann den Grenzwert berechnen wenn ich nicht Null einsetzen soll bzw. es eine gewagt Situation ist?

Eben mit dieser Substitution, zumindest in dem Fall.

Zitat:

Original von bandchef
Es ist also die Funktion an sich die dir sagt wann du Substituieren musst? Welche Funktionen sind das? Gibts eine "Regel"? Und wenn man dann weiß welche Funkionen das sind woher weiß ich dann wie ich substituieren muss?

Nein es gibt keine Regel, in der Mathematik gibts eben nur selten Patentrezepte die immer funktionieren. Ich kann deine Fragen zwar verstehen jedoch ist die Antwort auf diese Fragen nicht ganz so einfach. Man muss eben gut hinsehen, um zu erkennen was man machen bzw. ausprobieren könnte.
Es ist nicht die Funktion die das einem sagt, sondern der gesamte Audruck, also den Limes mit einbezogen. Du siehst doch selbst, dass man da nicht einfach 0 einsetzen kann. Nicht umsonst ist der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x \to 0^- \end{eqnarray*}$ gesucht.

08.12.2009, 17:30

bandchef

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Also ich bring jetzt für den Grenzwert von der Aufgabe folgendes Ergebnis raus: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-} ln(\frac{x}{2x-1})\Rightarrow-\infty \end{eqnarray*}$

Und für die andere das Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0,5+} ln(\frac{x}{2x-1})\Rightarrow+\infty \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt richtig?

danke, bandchef

08.12.2009, 17:34

Q-fLaDeN

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Ich kenne zwar deinen Rechenweg nicht, aber auf jeden Fall ist das richtig!

08.12.2009, 18:44

bandchef

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So hab ich gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-} ln(\frac{x}{2x-1})=\lim_{x \to 0-} ln(\frac{x}{2(x-\frac{1}{x})})=\lim_{x \to 0-} ln(\frac{1}{2-\frac{1}{x}}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich da jetzt 0- einsetze, dann komm ich auf -oo

danke, bandchef

08.12.2009, 18:59

Q-fLaDeN

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Ok.

Nur noch als Ergänzung wie ich es gemeint hatte:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-} \ln\left(\frac{x}{2x-1}\right) = \lim_{n \to \infty}\ln\left(\frac{-\frac 1 n}{-\frac 2 n - 1}\right) = \lim_{n \to \infty}~\ln \left(\frac{1}{n+2}\right) = -\infty \end{eqnarray*}$

08.12.2009, 19:13

bandchef

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Na, ich hab doch letzten Endes auch nichts anderes gemacht *lach* Ich denke, mein Problem ist hiermit aus der Welt geschafft...

danke, bandchef

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