Monotonie der Gaußklammerfunktion

03.12.2009, 16:26

Kara

Monotonie der Gaußklammerfunktion

Hallo,

Ich soll die Monotonie der Gaußfunktion beweisen, da ich das für einen anderen Beweis benötige und nur verwenden darf, wenn ich dies eben bewiesen habe.

Aber wie kann ich zeigen, dass die Gaußfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=[x] \end{eqnarray*}$ monoton steigend ist?

Ich weiß ja, dass aus einer Gaußklammer stets eine ganze Zahl folgt (da sie abgerundet wird). Und je größer die eingesetzte Zahl wird, desto größer bzw. gleich wird bzw. bleibt das Ergebnis.

z.B.
$\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(1,5)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(2,788)=2 \end{eqnarray*}$
usw. (ebenso für negative Zahlen)

Daraus sehe ich ja schon, dass die Funktion monoton steigt, aber die Idee für eine Beweisführung fehlt mir. Könntet ihr mir dabei vielleicht helfen? Wäre super!

03.12.2009, 16:32

tmo

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Gehe direkt über die Definition

$\begin{eqnarray*} [x] := \max \{z \in \mathbb Z, z \leq x \} \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} x > y \end{eqnarray*}$ .

Aus der Definition folgt schnell $\begin{eqnarray*} [y] \leq y \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} [y]<x \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} [y] \in \{z \in \mathbb Z, z \leq x \} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt sind wir fast am Ziel.

03.12.2009, 16:56

Kara

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Ok, damit hätte ich gezeigt, dass für jedes x > y

$\begin{eqnarray*} \left[y\right]\leq y<x \end{eqnarray*}$ gilt.

Laut Definition der steigenden Monotonie (wenn $\begin{eqnarray*} x,y\in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y < x \Rightarrow f(y)\leq f(x) \end{eqnarray*}$ , dann ist die Funktion monoton steigend) heißt das dann schon, dass die Funktion monoton steigend ist? Denn wir haben ja x > y, aber wie sieht das mit den Werten aus? Wir haben $\begin{eqnarray*} x>y\geq \left[y\right] \end{eqnarray*}$ , aber wie baue ich da dann $\begin{eqnarray*} \left[x\right]\leq x \end{eqnarray*}$ ein? Oder bin ich auf dem falschen Weg?

03.12.2009, 16:57

tmo

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Zitat:

Original von tmo
Also $\begin{eqnarray*} [y]<x \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} [y] \in \{z \in \mathbb Z, z \leq x \} \end{eqnarray*}$ .

Hieraus musst du was machen.

Wenn ein Element in einer Menge ist. We verhält es sich dann zum Maximum dieser Menge?

03.12.2009, 17:03

Kara

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Es ist entweder kleiner oder gleich dem Maximum.

Ach so, und weil $\begin{eqnarray*} z\leq x \end{eqnarray*}$ , wobei ja auch [y] in der Menge der z mit derselben Eigenschaft ist, kann [y] nicht größer als der Wert von [x] werden und damit muss die Funktion monoton wachsen?

03.12.2009, 17:05

tmo

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Genau.

Aus $\begin{eqnarray*} [y] \in \{ z \in \mathbb Z, z \leq x \} \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} [y] \leq \max \{ z \in \mathbb Z, z \leq x \} =: [x] \end{eqnarray*}$ .

Damit ist die Monotonie bewiesen.

03.12.2009, 17:05

Kara

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Oh super. Danke für deine Hilfe :-)

03.12.2009, 17:31

Kara

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Eine kurze Frage hätte ich doch noch:

Wieso ist $\begin{eqnarray*} \left[y\right] \in \left\{ z\in Z, z\leq x\right\} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} z<x \end{eqnarray*}$ , da ja x auch streng kleiner als y ist? Der Rest ist absolut logisch für mich, aber da häng ich gerade irgendwie im Verständnis.

03.12.2009, 17:34

tmo

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Wenn $\begin{eqnarray*} z < x \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt $\begin{eqnarray*} z \leq x \end{eqnarray*}$ doch sowieso.

03.12.2009, 17:42

Kara

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Aber wenn $\begin{eqnarray*} z<x \end{eqnarray*}$ dann darf z doch nicht gleich x sein. Also folgt daraus doch nicht sofort $\begin{eqnarray*} z\leq x \end{eqnarray*}$ , oder?

03.12.2009, 17:43

tmo

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D.h. du würdest mir widersprechen, wenn ich sage, dass $\begin{eqnarray*} 3 \leq 5 \end{eqnarray*}$ gilt?

03.12.2009, 17:47

Kara

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Nein, natürlich nicht. Denkfehler, tut mir leid. Hab nichts gesagt :-)

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