Zeta(3) [war: Rieh]

03.12.2009, 16:27

estrella28

Zeta(3) [war: Rieh]

Bitte gib hier Deine Frage ein. Welche Lösungsansätze sind Dir selbst dazu eingefallen? Was hast Du schon probiert? Bedenke, dass wir hier Hilfe zur Selbsthilfe leisten und keine Komplettlösungen liefern werden. Viel Erfolg!

03.12.2009, 19:39

Mystic

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Ok, ich weiss jetzt nicht, inwiefern dir damit gedient ist, aber bitte...

Ich bin schon am Verzweifeln, was die Berechnung des Reihenwerts

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^3} \end{eqnarray*}$

betrifft, aber ich steh da irgendwie auf dem Schlauch... Ich habe u.a. bisher versucht, eine Formel der Form

$\begin{eqnarray*} \frac ab \pi^3 \end{eqnarray*}$

mit positiven ganzen Zahlen a und b dafür zu finden oder auch das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac {dx dy dz}{1-xyz} \end{eqnarray*}$

das ja offensichtlich obige Reihe als Wert hat, auf eine andere Weise zu berechnen, aber bisher ohne Erfolg... Wäre für jeden Tipp dankbar... Big Laugh

03.12.2009, 20:04

estrella28

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ups hier ist mir ein fehler unterlaufen..... das wollte ich gar nicht reinstellen, da hab ich voll mist gebaut, diese thema gibts nicht smile

sry...

04.12.2009, 00:53

Seren

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Zitat:

Original von Mystic
Ok, ich weiss jetzt nicht, inwiefern dir damit gedient ist, aber bitte...

Ich bin schon am Verzweifeln, was die Berechnung des Reihenwerts

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^3} \end{eqnarray*}$

betrifft, aber ich steh da irgendwie auf dem Schlauch... Ich habe u.a. bisher versucht, eine Formel der Form

$\begin{eqnarray*} \frac ab \pi^3 \end{eqnarray*}$

mit positiven ganzen Zahlen a und b dafür zu finden oder auch das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac {dx dy dz}{1-xyz} \end{eqnarray*}$

das ja offensichtlich obige Reihe als Wert hat, auf eine andere Weise zu berechnen, aber bisher ohne Erfolg... Wäre für jeden Tipp dankbar... Big Laugh

Wenn du es rausgefunden hast, meld dich bei mir, ich mach dann deinen Eintrag auf Wikipedia Augenzwinkern

04.12.2009, 08:38

Mystic

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Zitat:

Original von Seren
Wenn du es rausgefunden hast, meld dich bei mir, ich mach dann deinen Eintrag auf Wikipedia Augenzwinkern

Ja, mache ich, wenngleich die Chancen gleich 0 sind, da haben sich schon größere Geister daran versucht... U.a. hatte man ja bekanntlich allein schon mit dem Nachweis, dass der in Frage stehende Reihenwert irrational ist, beträchtliche Probleme und der endgültige Beweis war dann eine Sensation (Apery, 1979)... Augenzwinkern

04.12.2009, 20:27

Abakus

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Hallo Mystic!

Zitat:

Original von Mystic
Ich bin schon am Verzweifeln, was die Berechnung des Reihenwerts

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^3} \end{eqnarray*}$

betrifft, aber ich steh da irgendwie auf dem Schlauch... Ich habe u.a. bisher versucht, eine Formel der Form

$\begin{eqnarray*} \frac ab \pi^3 \end{eqnarray*}$

mit positiven ganzen Zahlen a und b dafür zu finden oder ...

Also wenn, dann müssten diese a und b sicher extrem groß sein, denn das Ganze lässt sich ja als Dezimalzahl bis zu einer gewissen Stellenzahl darstellen. Ich vermute aber mal, dass das Ergebnis komplizierter ist als das.

Was sagst du zu der Formel in meiner Signatur (das sollte mal ein Versuch in dieser Richtung sein) ?

Wenn du zB nämlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {(6k + a)^3} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a = 0, ~...~, 5 \end{eqnarray*}$

entweder kennst oder genügend linear unabhängige Gleichungen damit aufstellen kannst, ließe es sich über ein LGS lösen.

Grüße Abakus smile

04.12.2009, 22:31

Mystic

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Ja, über diese Formel in deiner Signatur staune ich immer wieder aufs Neue und ich habe auch, wenngleich natürlich ohne jeden Erfolg, schon ein bißchen damit herumgespielt... Augenzwinkern

Immerhin nährt sie ja auch ein bißchen die Hoffnung, dass der fragliche Reihenwert doch noch auf irgendeine geheimnisvolle Art und Weise mit $\begin{eqnarray*} \pi^3 \end{eqnarray*}$ zusammenhängen könnte, obwohl der naheliegende Zugang, nämlich das "Erraten" einer derartigen Formel aufgrund eines genügend genauen numerischen Wertes und mit massiver Computerhilfe bislang offenbar nicht geklappt hat... Warum übrigens a und b nicht ganz sein können oder zumindestens extrem groß sein müssten, wie du schreibst, ist mir allerdings nicht unmittelbar klar... Würde dein Argument nicht auch in gleicher Weise auf die anderen Reihenwerte $\begin{eqnarray*} \zeta(n) \end{eqnarray*}$ , aber mit geradem ganzen n>0 statt 3 zutreffen, die aber nach Euler samt und sonders einer derartigen Formel genügen, wobei a und b zumindestens für kleines n auch nicht groß sind?

Das wirklich Peinigende an der ganzen Sache ist jedoch, dass man ja nichteinmal weiss, ob eine Formel für $\begin{eqnarray*} \zeta(3) \end{eqnarray*}$ überhaupt existiert, und selbst wenn, ob sie der Menschheit überhaupt zugänglich ist... Andererseits gibt es immer wieder auch Sachen, wie z.B. den erst vor wenigen Jahren entdeckten AKS-Test, die unglaublich einfach sind, aber bisher einfach übersehen wurden... Vielleicht ist ja der Nachfahre von Euler schon geboren, der dieses Jahrhunderträtsel löst... Augenzwinkern

06.12.2009, 00:34

Abakus

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Zitat:

Original von Mystic
Immerhin nährt sie ja auch ein bißchen die Hoffnung, dass der fragliche Reihenwert doch noch auf irgendeine geheimnisvolle Art und Weise mit $\begin{eqnarray*} \pi^3 \end{eqnarray*}$ zusammenhängen könnte, obwohl der naheliegende Zugang, nämlich das "Erraten" einer derartigen Formel aufgrund eines genügend genauen numerischen Wertes und mit massiver Computerhilfe bislang offenbar nicht geklappt hat...

Ich denke eher nicht, weil in jedem der Teilausdrücke ein Bruchteil von $\begin{eqnarray*} \zeta(3) \end{eqnarray*}$ drinsteckt. Mit dem Computer wurde bisher wohl eher viel zuwenig rumprobiert.

Zitat:

Warum übrigens a und b nicht ganz sein können oder zumindestens extrem groß sein müssten, wie du schreibst, ist mir allerdings nicht unmittelbar klar... Würde dein Argument nicht auch in gleicher Weise auf die anderen Reihenwerte $\begin{eqnarray*} \zeta(n) \end{eqnarray*}$ , aber mit geradem ganzen n>0 statt 3 zutreffen, die aber nach Euler samt und sonders einer derartigen Formel genügen, wobei a und b zumindestens für kleines n auch nicht groß sind?

Schau mal, was für n=4 rauskommt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\zeta(4)}{\pi^4} = 0.0~ 111111111111... \end{eqnarray*}$

n=6 ist minimal kniffliger:

$\begin{eqnarray*} \frac{\zeta(6)}{\pi^6} = 0.0~ 010582~ 010582~ 010582~ 01... \end{eqnarray*}$

Da ist doch klar, welche Brüche man raten würde.

Zitat:

Vielleicht ist ja der Nachfahre von Euler schon geboren, der dieses Jahrhunderträtsel löst... Augenzwinkern

Euler hin oder her, heute hat jeder mit einem CAS eigentlich mehr Rechenpower als dieser Mathematiker. Vielleicht gleicht das fehlende Intuition ja etwas aus. Da tun sich ganz andere Möglichkeiten auf (hoffe ich mal).

Grüße Abakus smile

06.12.2009, 11:08

Mystic

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Ah, so war das gemeint mit den "extrem großen" a und b... Ja, ich glaube eigentlich auch, dass eine rationale Konstante zu einfach wäre und mindestens eine Wurzel, so wie auch in deiner Signaturformel, dabei sein sollte, und/oder vielleicht auch logarithmischer Terme, wie sie bei bestimmten Integralen mit Polynomen ungeraden Grades im Nenner typisch sind...

Die menschliche Intuition würde ich allerdings im Verhältnis zur Computerpower nicht unterschätzen... Das sieht man am besten an den unglaublichen Formeln von Ramanujan, an den wir heute trotz massiver Computerunterstützung noch immer zu knabbern haben... Augenzwinkern

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