Stetigkeit, Diffenzierbarkeit, etc.

10.10.2006, 06:56

muellev

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Stetigkeit, Diffenzierbarkeit, etc.

Ich habe einige grundlegende Fragen zur Analysis, habe im Internet schon gesucht und auch im Mathebuch schon durchgearbeitet, aber ich verstehe manches nicht wirklich.

1. Was ist Stetigkeit? Wie weise ich nach, dass eine Funktion in z.B. x0=5 nicht stetig ist? Was muss ich wie einsetzen.. kann mir das jemand mal verständlich erklären Big Laugh

Big Laugh

2. Was ist Differenzierbarkeit? Ist damit einfach das Ableiten gemeint?

3. Und wie bestimme ich die Ableitung in einem Punkt und was bringt das ganze? Was ist die Ableitung, ist das die Steigung m des Graphen?

Danke im voraus.

MfG
muellev

10.10.2006, 08:17

system-agent

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1.
lapidar ausgedrückt ist eine funktion stetig, wenn du ihren graphen malen könntest, ohne einmal mit dem stift abzusetzen.
rechnerisch bedeutet das, dass der funktionswert an jeder stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit dem links- bzw. rechtsseitigem grenzwert gegen diese stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ übereinstimmen muss.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0-0}f(x)=\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$
bei einer unstetigen funktion muss das schließlich nicht immer gelten, nehmen wir beispielsweise diese:
$\begin{eqnarray*} f(x):=\left\{\begin{array}{cl}x-1\quad x\neq 0\\50\quad x=0 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

2.
ja, differenzieren bedeutet ableiten

3.
die ableitung an einer stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bekommst du, indem du untersuchst, ob der folgende grenzwert existiert und links- bzw. rechtsseitig der gleiche ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

die ableitung an der stelle gibt dann die steigung der tangenten an, was durchaus auch die steigung an dieser stelle ist.

10.10.2006, 08:31

muellev

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zu 1. Ja was ist denn x0 ? Ist das ne Nullstelle oder en beliebiger Funktionswert oder der Grenzwert?

Kannst du mir diese Formel mal versprachlichen, ich verstehe immer noch nicht das Prinzip unglücklich

unglücklich

Und auch verstehe ich nicht, wieso die Funktion auf einmal in 2 Teile geteilt wird, die dann untersucht werden..

10.10.2006, 08:36

system-agent

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Zitat:

Original von muellev
zu 1. Ja was ist denn x0 ? Ist das ne Nullstelle oder en beliebiger Funktionswert oder der Grenzwert?

mit meinem $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gebe ich einfach eine beliebige stelle im definitionsbereich an. ich hätte sie natürlich auch anders nennen können, wenns dir besser gefällt:
$\begin{eqnarray*} x=hugo \end{eqnarray*}$
bitteschön Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von muellev
Kannst du mir diese Formel mal versprachlichen, ich verstehe immer noch nicht das Prinzip unglücklich

unglücklich

stell dir einen zahlenstrahl vor. dort kannst du dich eine bestimmten stelle (also $\begin{eqnarray*} x=x_0=hugo \end{eqnarray*}$ ) von genau zwei seiten nähern, links und rechts. beim ersten grenzwert kommst du von links, beim zweiten von rechts.
falls die beiden grenzwerte gleich sind (wie bei meiner funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ) reicht das allerdings noch nicht zur stetigkeit, der tatsächlich angenommene funktionswert (sofern der definiert ist) muss ebenfalls mit dem grenzwert übereinstimmen.

Zitat:

Original von muellev
Und auch verstehe ich nicht, wieso die Funktion auf einmal in 2 Teile geteilt wird, die dann untersucht werden..

ganz einfach, weil ich mir das so ausgedacht habe Big Laugh

Big Laugh

das mit dem untereinanderschreiben so wie ich es getan habe, dient lediglich der übersichtlichkeit.

10.10.2006, 08:53

muellev

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Ich löse jetz zum Test mal ne Aufgabe und du sagst mir bitte ob es stimmt Big Laugh

Big Laugh

f(x) = -x - 0,5x² für x <=2
x²-4x für x > 2

x0=2

So, jetz verwirrt mich folgendes: Ich denke nun, x0 wäre ne Nullstelle der Funktion oder Grenzwert (was für mich das selbe irgendwie ist o_O) und man untersucht links und rechts von diesem, warum auch immer.
Aber wie du sagtest ist x0 en belieber Funktionswert für x..

f(2) = -2 - 0,5 x 4 = -4
4 - 8 = -4

Beide Male kommt - 4 raus. Was sagt mir das jetzt? Also mir bisher nur, dass eben - 4 für beide Teile der Funktion herauskommt:

Wieso sind es zwei Teile in der Aufgabenstellung und wie wäre das wenn da z.B. steht untersuche x³ - 5 an der Stelle x0=4 auf Stetigkeit, wie mache ich das da??

10.10.2006, 09:00

system-agent

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schauen wir uns mal $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der stelle $\begin{eqnarray*} x=x_0=2 \end{eqnarray*}$ an.
für den linksseitigen grenzwert gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2-0}f(x)=\lim_{x\to 2-0}-x-0,5x^2=-2-0,5\cdot 4=-4 \end{eqnarray*}$
für den rechtsseitigen grenzwert gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2+0}f(x)=\lim_{x\to 2+0}x^2-4x=4-8=-4 \end{eqnarray*}$

bis hierher sagt uns das ergebnis, dass die funktion an der stelle 2 den grenzwert -4 hat. FALLS sie stetig ist, muss sie nun an der stelle $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ erstmal definiert sein (ist sie) und dort dann auch den funktionswert -4 annehmen. tut sie das, ist sie stetig. also:
$\begin{eqnarray*} f(2)=-2-0,5\cdot 2^2=-4 \end{eqnarray*}$

nun gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2-0}f(x)=\lim_{x\to 2+0}f(x)=f(2) \end{eqnarray*}$
und die funktion ist stetig an der angegebenen stelle.

für deine zweite funktion machst du es genauso

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11.10.2006, 06:09

muellev

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Hm wenn ich jetzt z.B. f(x) = x³ habe, dann ist ja die Definitionsmenge R. Die Funktion ist doch dann für jeden Wert x0 stetig.

Wenn ich jetzt f(x) x - 2 durch x-5 habe. Dann ist die Definitionsmenge R \ {5}.

Die Funktion ist aber dann stetig, außer in 5, wobei 5 eh nicht zur Definitionsmenge gehört? Also könnte man hier sagen, dass die Funktion stetig ist, außer für x0=5 ?

Kann man also generell sagen, dass jede Funktion stetig für seine Definitionsmenge ist?

11.10.2006, 08:39

Sunwater

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Zitat:

Kann man also generell sagen, dass jede Funktion stetig für seine Definitionsmenge ist?

nein das stimmt nicht!

als leichtestes Gegenbeispiel kannst du zusammengesetze Funktionen nehmen.

Stell dir eine Funktion vor die überall den Funktionswert 0 hat. Außer an der Stelle 1 - da hat sie den Funktionswert 5.

also quasi:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 5 , & \mbox{wenn } x=1 \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases} \end{eqnarray*}$

ich hoffe du kannst dir die Funktion vorstellen - du kannst sie nicht zeichnen ohne den Stift dabei abzusetzen. Und du kannst auch mit den Grenzwerten zeigen, dass die Funktion nicht stetig ist!

11.10.2006, 08:42

muellev

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Ok kann sie mir vorstellen, sie springt bei 1 eben auf 5 hoch..

Grenzwerte.. also eine Funktion hat ja einen Grenzwert (Limes). Z.b. 0. Ist damit der Grenzwert gemeint, der untersucht wird, wenn man die Stetigkeit überprüft? Oder besitzt jeder x-Wert nen eigenen Grenzwert, das verwirrt mich alles etwas..

11.10.2006, 08:48

Sunwater

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genau - jeder x-Wert besitzt einen eigenen Grenzwert.

Man untersucht bestimmte Stellen einer Funktion auf ihren Grenzwert.
d.h. du kannst jede beliebige Stelle nehmen.

Meistens untersucht man aber "interessante" Stellen der Funktion.
Sowas wie: was macht die Funktion im unendlichen, oder bei Polstellen, oder halt wenn du Stetigkeit in einem Punkt untersuchen willst!

dazu wollte ich noch sagen: Stetigkeit untersucht man immer erstmal in einem Punkt - es ist also die Eigenschaft von einer Stelle der Funktion, dass sie dort stetig ist. Und wenn jetzt die Funktion an jeder stelle stetig ist, dann nennt man die Funktion auch stetig.

11.10.2006, 08:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von system-agent
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2-0}f(x)=\lim_{x\to 2+0}f(x)=f(2) \end{eqnarray*}$

Mit Latex kann man links- bzw. rechtsseitige Grenzwerte auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nea 2}f(x)=\lim_{x \sea 2}f(x)=f(2) \end{eqnarray*}$

Im übrigen muß man für die Stetigkeit nicht unbedingt links- bzw. rechtsseitige Grenzwerte untersuchen. Die Definition der Stetigkeit verlangt nur, daß gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

Ich gebe aber zu, daß man bei den meisten Aufgaben zur Stetigkeitsuntersuchung links- bzw. rechtsseitige Grenzwerte berechnet.

Zitat:

Original von muellev
Hm wenn ich jetzt z.B. f(x) = x³ habe, dann ist ja die Definitionsmenge R. Die Funktion ist doch dann für jeden Wert x0 stetig.

Ja in diesem Fall, sprich Polynom. Es gibt aber Funktionen (siehe unten), für die das nicht so gilt.

Zitat:

Original von muellev
Wenn ich jetzt f(x) x - 2 durch x-5 habe. Dann ist die Definitionsmenge R \ {5}.

Die Funktion ist aber dann stetig, außer in 5, wobei 5 eh nicht zur Definitionsmenge gehört? Also könnte man hier sagen, dass die Funktion stetig ist, außer für x0=5 ?

Du meinst die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x-2}{x-5} \end{eqnarray*}$
Die Funktion ist bis auf x0=5 stetig. Das muß aber separat bewiesen werden.

Zitat:

Original von muellev
Kann man also generell sagen, dass jede Funktion stetig für seine Definitionsmenge ist?

Nein. Es gibt sogar Funktionen, die nirgendwo stetig sind. beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 1 , & \mbox{wenn x rational} \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases} \end{eqnarray*}$

11.10.2006, 09:06

muellev

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Zitat:

Original von Sunwater
Man untersucht bestimmte Stellen einer Funktion auf ihren Grenzwert.
d.h. du kannst jede beliebige Stelle nehmen.

Ja und warum sehe ich dann, ob die Funktion stetig ist? Was hat das mit dem Grenzwert eines x-Wertes zu tun? Wieso hat denn jeder x-Wert einen Grenzwert?

Angenommen ich habe für x0=2 bei einer Funktion den Grenzwert 5 heraus.. Für x0=3 dann aber 1. Was sagt dieser Wert denn für x aus?

11.10.2006, 09:24

Sunwater

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der Grenzwert für eine bestimmte Stelle x heißt doch nur, welchen Wert man erhält, wenn man der Stelle x beliebig nahe kommt.

ich verstehe deine Frage nicht ganz

11.10.2006, 09:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von muellev
Ja und warum sehe ich dann, ob die Funktion stetig ist? Was hat das mit dem Grenzwert eines x-Wertes zu tun? Wieso hat denn jeder x-Wert einen Grenzwert?

Ich glaube, du hast die Zusammenhänge noch nicht ganz verstanden. Ein x-Wert hat keinen Grenzwert. Eine Funktion kann an einer Stelle x0 einen Grenzwert haben oder eben nicht. Wenn die Funktion an der Stelle x0 einen Grenzwert hat und die Funktion an der Stelle x0 definiert ist und der Grenzwert = f(x0) ist, dann heißt die Funktoin stetig an der Stelle x0, in Formel:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von muellev
Angenommen ich habe für x0=2 bei einer Funktion den Grenzwert 5 heraus.. Für x0=3 dann aber 1. Was sagt dieser Wert denn für x aus?

Gar nichts. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.10.2006, 09:28

muellev

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Ok danke habe es nun verstanden Big Laugh

Big Laugh

11.10.2006, 09:30

klarsoweit

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Nochmal: es geht nicht um den Grenzwert eines beliebigen x-Wertes, sondern um den Grenzwert der Funktion f(x) an einer Stelle x0, also um den Grenzwert, den die Funktionswerte haben, wenn man mit x beliebig nahe an x0 rangeht.

EDIT: habe deine "ich habe verstanden"-Meldung erst jetzt gesehen.

25.11.2006, 20:22

karl12

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test
warum wird latex nicht angezeigt bzw. so shclecht angezeigt?

25.11.2006, 20:25

RS

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du musst deinen Internet Explorer (sofern du hast) aufgrund eines Latexupdates updaten auf IE 7. Oder Firefox 2.0, der zeigts auch weiterhin perfekt an. Weiteres im Off-Topic Forum Beiträge nicht leserlich!

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