Standardnorm und Dreiecksungleichung

03.12.2009, 17:58	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Standardnorm und Dreiecksungleichung Wie kommt man beim Quadrieren beider Seiten von $\begin{eqnarray} \|\|x+y\|\|\leq \|\|x\|\|+\|\|y\|\| \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} x^2+y^2 \leq (\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2})^2=x^2+y^2+2\sqrt{x} \sqrt{y} \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Also das letzte Gleichheitszeichen ist klar (binomische Formel). Ich könnte ja auch für $\begin{eqnarray} \|\|x+y\|\|\leq \|\|x\|\|+\|\|y\|\| \end{eqnarray}$ schreiben $\begin{eqnarray} \sqrt{(x+y)^2} \leq \sqrt{x^2} +\sqrt{y^2} \end{eqnarray}$ . Wenn ich die Zeile jetzt quadriere komme ich doch auf die selbe Zeile wie oben, nur dass das Ungleichheitszeichen umgedreht wäre. Und das will ich ja nicht zeigen.... Nachtrag: Steinigt mich für diese blöde Frage, aber ich seh' den Wald schon wieder vor lauter Bäumen nicht....
03.12.2009, 20:46	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die rechte Seite der Gleichung nach dem Quadrieren erhalte ich so auch. Aber mit der linken haut es nicht hin: $\begin{eqnarray} (\|\|x+y\|\|)^2=(\sqrt{(x+y)^2} )^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \end{eqnarray}$ Was ja sogar größer als die rechte Seite wäre. Verstehe aber nicht wo der Fehler liegt...
03.12.2009, 21:56	MB-BC	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hilft es, wenn du mal sagt, wo du das so her hast, denn in der ersten Zeile ist ja schon mindestens ein Fehler: $\begin{eqnarray} (\sqrt{x²} + \sqrt{y²})² \neq x² + y² + 2\sqrt{x}\sqrt{y} \end{eqnarray}$ sondern: $\begin{eqnarray} (\sqrt{x²} + \sqrt{y²})² = x² + y² + 2\sqrt{x²}\sqrt{y²} \end{eqnarray}$
03.12.2009, 23:15	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry ich habe beim Abschreiben die Quadrate vergessen. Das Beispiel ist aus einem Lineare Algebra - Buch (Hochschule) Die rechte Seite macht ja (ohne den Tippfehler) auch Sinn. Mir geht es mehr um die linke Seite!

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