Stetigkeit von Funktionen ausrechnen/zeigen

03.12.2009, 19:05

TimTim

Stetigkeit von Funktionen ausrechnen/zeigen

Hallo und schönen Abend, ich verzweifle im Moment mal wieder an einem Übungsblatt der Uni. Wir sind in Analysis jetzt soweit, dass wir Funktionen betrachten, genauer: Stetigkeit von Funktionen.

Auf unserem aktuellen Übungszettel finden sich einige Aufgaben ala "Geben Sie an, an welchen Stellen die Funktion stetig und unstetig ist.

Ich hab mir Stetigkeit im Kopf abgespeichert, dass man "den Graphen durchzeichnen kann" allerdings weiss ich nicht wie man sowas rechnerisch nachweist.

Ein konkretes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f_{1}(x):=\left\{ \begin{array}{c} (cos(x+2)-1)sin(\frac{1}{x+2}\textrm{ wenn \ensuremath{x\in\mathbb{R}\{-2\},}}\\ -1\textrm{ wenn \ensuremath{x=-2}}\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Ich hatte die Vermutung, dass die Funktion vll. bei x=-2 unstetig ist. Hab daher mal in die obige 'Anweisung' -2 eingesetzt und bin da auf einen Wert != -1 gekommen was ja hier unstetigkeit im Punkt -2 heissen würde.
Allerdigns ist mir das alles viel zu schwammig, ich weiss nicht mit welchen Hilfsmitteln ich sowas ausrechnen kann und selbst wenn ich die Mittel wüsste, würd ich wahrscheinlich daran scheitern sie richtig anzuwenden.

Könnte mir da vielleicht jemand unter die Arme greifen und mir sagen wie man sowas macht?

Ich danke einfach mal im vorraus!

Grüße,

Tim

04.12.2009, 08:58

klarsoweit

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RE: Stetigkeit von Funktionen ausrechnen/zeigen

Zitat:

Original von TimTim
$\begin{eqnarray*} f_{1}(x):=\left\{ \begin{array}{c} (cos(x+2)-1)sin(\frac{1}{x+2}\textrm{ wenn \ensuremath{x\in\mathbb{R}\{-2\},}}\\ -1\textrm{ wenn \ensuremath{x=-2}}\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Das müssen wir erstmal entwirren:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}(cos(x+2)-1) \cdot sin(\frac{1}{x+2}) & \text{für } x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\} \\ - 1 & \text{für } x = -2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von TimTim
Ich hatte die Vermutung, dass die Funktion vll. bei x=-2 unstetig ist. Hab daher mal in die obige 'Anweisung' -2 eingesetzt und bin da auf einen Wert != -1 gekommen was ja hier unstetigkeit im Punkt -2 heissen würde.

Da möchte ich mal wissen, wie du in $\begin{eqnarray*} sin(\frac{1}{x+2}) \end{eqnarray*}$ für x die -2 einsetzst.

Im Prinzip mußt du den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2}~(cos(x+2)-1) \cdot sin(\frac{1}{x+2}) \end{eqnarray*}$ bilden. In der Tat kommt da nicht -1 raus.

So sieht der obere Teil der Funktion aus:

04.12.2009, 22:32

TimTim

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Ok das mag bei der Funktion so klappen indem ich den Grenzwert ausrechne.

Anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f_{2}(x):=\left\{ \begin{array}{c} (sin(x+2)-1)sin(\frac{1}{x+2})\textrm{ wenn \ensuremath{x\in\mathbb{R}\left\backslash \right.\{-2\},}}\\ -1\textrm{ wenn \ensuremath{x=-2}}\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Hier geht das ja nichtmehr, zumindest finde ich keinen Grenzwert.

Wie macht man das dann hier?

05.12.2009, 10:17

klarsoweit

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Da mußt du eben zeigen, daß es keinen Grenzwert der Funktion für x gegen -2 existiert.

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