Beweis mit Gruppe

03.12.2009, 19:12

Lea

Beweis mit Gruppe

Hallo
Will folgende Aufgabe lösen: Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Beweise: Das Produkt aller Elemente von G ist e (neutrales Element), falls n ungerade ist, aber gleich b, falls n gerade ist, wobei b das einzige Element von G der Ordnung 2 ist.
Ich habe folgenden Satz, der glaube ich etwas mit der Lösung der Aufgabe zu tun hat. Ich ihn allerdings irgendwie nicht darauf anwenden.
Der Satz lautet: Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\in G, m\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^m \equiv b \end{eqnarray*}$ (*) ist genau, dann mit einem $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ lösbar, wenn $\begin{eqnarray*} b^{\frac{\alpha}{ggT(\alpha,m)}}=e \end{eqnarray*}$ In diesem Falle besitzt (*) genau $\begin{eqnarray*} ggT(\alpha,m) \end{eqnarray*}$ viele verschiedene Lösungen $\begin{eqnarray*} x\in G \end{eqnarray*}$
Wäre sehr dankbar wenn mir da jemand helfen könnte. Weiß nicht wie ich das anwenden könnte um damit die Aufgabe zu lösen.

03.12.2009, 20:16

therisen

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$\begin{eqnarray*} \prod_{g\in G}g=\prod_{k=0}^{n-1}x^k=x^{\sum_{k=0}^{n-1}k} \end{eqnarray*}$

04.12.2009, 11:58

Lea

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Danke für die Antwort. Verstehe auch glaube ich ziemlich was damit gemeint ist. also das erste Produkt stellt alle das Produkt aller Elemente von G dar. Die Umformungen die dann folgen sind mir auch soweit klar, wobei ich nur nicht ganz verstehe warum das 2. Produkt nur bis n-1 "geht"?
Dann müsste ich jetzt irgendwie zeigen, dass falls n ungerade ist das Produkt aller Elemente von G e wird und falls n gerade gleich b ist. Muss ich dann n=2k+1 (für ungerade) und n=2k f(für gerade) setzen?
Was bedeutet in dem Zusammenhang eigentlich genau, dass b das einzigste Element von G der Ordnung 2 ist? Bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ist immer gleich b?

04.12.2009, 14:51

therisen

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Zitat:

Original von Lea
Die Umformungen die dann folgen sind mir auch soweit klar, wobei ich nur nicht ganz verstehe warum das 2. Produkt nur bis n-1 "geht"?
Dann müsste ich jetzt irgendwie zeigen, dass falls n ungerade ist das Produkt aller Elemente von G e wird und falls n gerade gleich b ist. Muss ich dann n=2k+1 (für ungerade) und n=2k f(für gerade) setzen?
Was bedeutet in dem Zusammenhang eigentlich genau, dass b das einzigste Element von G der Ordnung 2 ist? Bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ist immer gleich b?

1) Da es bei Null beginnt.
2) Ja. Verwende die Identität $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}k=\frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$ .
3) Das bedeutet: Aus $\begin{eqnarray*} z^2=e \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z\neq e \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} z=b \end{eqnarray*}$ . Da kannst du den von dir genannten Satz anwenden.

04.12.2009, 15:51

Lea

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Also ich hätte dann das hier:
n gerade: n=2v:
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{(2v)(2v-1)}{2}}=x^{2v^2-v} => x^{2v^2-v}=b \end{eqnarray*}$ genau dann wenn mit $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ lösbar, wenn $\begin{eqnarray*} b^{\frac{2}{ggT(2,2v^2-v)}}=b^2=e \end{eqnarray*}$ und das gilt weil b das einigste Element aus G der Ordnung 2 ist oder?

n ungerade: n=2v+1:
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{(2v+1)(2v+1-1)}{2}}=x^{2v^2+v} \end{eqnarray*}$
Nur hier weiß ich nicht wie ich auf e kommen soll.

06.12.2009, 11:19

therisen

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Zitat:

Original von Lea
n gerade: n=2v:
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{(2v)(2v-1)}{2}}=x^{2v^2-v} => x^{2v^2-v}=b \end{eqnarray*}$ genau dann wenn mit $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ lösbar, wenn $\begin{eqnarray*} b^{\frac{2}{ggT(2,2v^2-v)}}=b^2=e \end{eqnarray*}$ und das gilt weil b das einigste Element aus G der Ordnung 2 ist oder?

Nein, so geht das nicht. Sei $\begin{eqnarray*} y:=x^{\frac{(2v)(2v-1)}{2}}=x^{v(2v-1)} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} y^2=(x^n)^{2v-1}=e \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y=b \end{eqnarray*}$ (Eindeutigkeit von b).

Zitat:

Original von Lea
n ungerade: n=2v+1:
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{(2v+1)(2v+1-1)}{2}}=x^{2v^2+v} \end{eqnarray*}$
Nur hier weiß ich nicht wie ich auf e kommen soll.

Siehe oben.

07.12.2009, 19:30

Lea

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Vielen Dank für die Hilfe.

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