Explizite aus rekursiver Darstellung (Induktionsschritt)

03.12.2009, 19:28

Maxxxxx

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Explizite aus rekursiver Darstellung (Induktionsschritt)

Edit (mY+): Bitte keine Hilfeersuchen in der Überschrift. Titel modifiziert.

Hallo,

Ich muss per Induktion zeigen, dass an = 5 * [1-(0,6)^n] / 0.4 eine explizite darstellung der Folge an ist.. ich habe die rekursive Darstellung : an+1 = an * 0,6 + 5 ...

Den Induktionsansfang hab ich hinbekommen aber den Induktionsschritt nicht.. ich hoffe ihr könnt mir helfen ...

Lg Max

03.12.2009, 21:01

Abakus

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RE: Hilfe bei Induktionsschritt
Hallo!

OK, dann schreibe mal hin, wie weit du kommst. Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung, Induktionsbehauptung. Wo steckst du beim Induktionsschritt dann fest?

Grüße Abakus smile

smile

03.12.2009, 21:11

Maxxxxx

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ich komm leider garnicht vorran .. ich hab da immer hundert zahlen stehen was aber nicht geht und dann wieder neue was auch nicht geht..

03.12.2009, 21:15

Abakus

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OK, wie sieht der Induktionsanfang genau aus?

Grüße Abakus smile

smile

03.12.2009, 21:20

Maxxxxx

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Ich hab an = 5 = 5 * [1-(0,6)^1] / 0.4 = 5 wahr

03.12.2009, 21:24

Abakus

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Zitat:

Original von Maxxxxx
Ich hab an = 5 = 5 * [1-(0,6)^1] / 0.4 = 5 wahr

Was setzt du für n ein und was ist dein Startwert für die Rekursion? Das gehört hier noch rein.

Grüße Abakus smile

smile

PS: kannst du dich mal am Formeleditor versuchen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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03.12.2009, 21:28

Maxxxxx

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Mein Startwert ist null und ich setze n = 1 ein ...

wir haben vorgegeben das bei n = 1 5 rauskommt

03.12.2009, 21:41

Abakus

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OK, nehmen wir also an, wir haben den Induktionsanfang bei n=1 gezeigt.

Was ist nun die Induktionsbehauptung?

Grüße Abakus smile

smile

03.12.2009, 21:43

Maxxxxx

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dass es auch für n + 1 gilt ... bzw. für alle n gilt

03.12.2009, 21:45

Abakus

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Zitat:

Original von Maxxxxx
dass es auch für n + 1 gilt ... bzw. für alle n gilt

Kannst du genau hinschreiben, was das heißt?

Grüße Abakus smile

smile

03.12.2009, 21:53

Maxxxxx

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an+1 = 5 * [1- (0.6)^n+1] / 0,4

tut mir leid ich weiß nicht wie der Formeleditor funktioniert

03.12.2009, 22:10

Eierkopf

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Als Folgenterm geschrieben erhält man:
$\begin{eqnarray*} a_n=5\cdot(1-0,6^n)/0,4=\frac{25}{2}\cdot(1-0,6^n) \end{eqnarray*}$

Zeige nun, dass für alle n gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{25}{2}\cdot(1-0,6^n) \cdot0,6+5=a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ,
indem Du $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ als Folgenterm schreibst. (Deine Aufgabe!)
Du musst nur noch umformen. Versuchs!

03.12.2009, 22:15

Maxxxxx

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wie kommst du denn auf die 25/ 2

03.12.2009, 22:25

Eierkopf

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Sorry, ich hatte in dem Term mit 0,4 multipliziert.
Wenn Du 5 durch 0,4 dividierst, wie nötig, erhälst Du den Wert.

03.12.2009, 22:32

Abakus

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Zitat:

Original von Maxxxxx
an+1 = 5 * [1- (0.6)^n+1] / 0,4

tut mir leid ich weiß nicht wie der Formeleditor funktioniert

Klick mal auf den Link Formeleditor unter dem Eingabefenster.

Ansonsten hast du die Induktionsbehauptung hingeschrieben, ok.

Grüße Abakus smile

smile

03.12.2009, 22:47

Maxxxxx

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tut mir leid .. ich weiß absolut nicht wie ich darauf kommen soll ...

Also ich habe jetzt: Die Aussage A(1) ist wahr:
$\begin{eqnarray*} 5 \cdot \frac{1-(0,6^{1}}{0,4}= 5 \end{eqnarray*}$

und dann:

$\begin{eqnarray*} an+1 = 5 \cdot \frac{1 - 0,6^{n+1}}{0,4} = 5 \cdot (1 - (0,6)^{n}\cdot 0,6)\cdot 0,4 \end{eqnarray*}$

03.12.2009, 22:59

Eierkopf

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Zuletzt nicht mal 0,4, sondern dividiert durch 0,4!

Noch ein Gedanke:

Abakus stellt in üblicher Terminologie dar, dass nach dem Induktionsanfang noch zu zeigen ist, dass aus der Induktionsvoraussetzung die Induktionsbehauptung folgt.
So weit so gut. Grundsätzlich ist zu zeigen, dass der Folgenterm für das n-te mit demjenigen aus der rekursiven Darstellung übereinstimmt.
Man könnte auch so schreiben A(n): $\begin{eqnarray*} a_n~=~a_n^* \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist jetzt als zweiter Schritt im Induktionsbeweis: $\begin{eqnarray*} A(n)~\Rightarrow~A(n+1) \end{eqnarray*}$

03.12.2009, 23:02

Abakus

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Zitat:

Original von Maxxxxx
und dann:

$\begin{eqnarray*} an+1 = 5 \cdot \frac{1 - 0,6^{n+1}}{0,4} = 5 \cdot (1 - (0,6)^{n}\cdot 0,6)\cdot 0,4 \end{eqnarray*}$

Ich würde es so machen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 0.6 \cdot a_n + 5 \stackrel{IV}{=} 0.6 \cdot \frac{5 \cdot(1 - 0.6^n)}{0.4} + 5 =~... \end{eqnarray*}$

Jetzt versuche weiter umzuformen.

Grüße Abakus smile

smile

03.12.2009, 23:07

Maxxxxx

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ja genauso hatte ich es auch schon überlegt aber ich krieg die 0.4 unten im bruch nicht weg.. also ich bekomm es nicht umgeformt .. das war meine 1. idee...

03.12.2009, 23:11

Maxxxxx

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$\begin{eqnarray*} 0,6 \cdot \frac{5}{0.4}\cdot \frac{1-0,6^{n}}{0.4} +5 \end{eqnarray*}$

wäre das die nächste umformung?

03.12.2009, 23:23

Eierkopf

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Nein, Du dividierst doch nochmals durch 0,4.

03.12.2009, 23:34

Maxxxxx

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tut mir leid.. ich steh total aufm schlauch... ich versteh es garnicht... könnt ihr das vielleicht mal für richtig blöde erklären .. unglücklich

unglücklich

03.12.2009, 23:39

Eierkopf

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Ich komme auf früheren Post zurück.

Versuche das Folgende nachzuvollziehen:

Zitat:

Original von Eierkopf

$\begin{eqnarray*} a_n=5\cdot(1-0,6^n)/0,4=\frac{25}{2}\cdot(1-0,6^n) \end{eqnarray*}$

Zeige nun, dass für alle n gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{25}{2}\cdot(1-0,6^n) \cdot0,6+5=a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Für alle n gilt:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{25}{2}\cdot(1-0,6^n) \cdot0,6+5\\=\frac{25}{2}(0,6-0,6^{n+1})+5\\=\frac{25}{2}(0,6-0,6^{n+1}+0,4)\\=\frac{25}{2}(1-0,6^{n+1}) \end{eqnarray*}$

Du verwendest also den Folgenterm für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ in der rekursiven Darstellung für $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ , um dies auf den Folgenterm umzuformen.

Übrigens $\begin{eqnarray*} 5/0,4~=~\frac{25}{2} \end{eqnarray*}$

03.12.2009, 23:51

Maxxxxx

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http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_{n+1}=\frac{25}{2}\cdot(1-0,6^n)%20\cdot0,6+5\\=\frac{25}{2}(0,6-0,6^{n+1})+5\\=\frac{25}{2}(0,6-0,6^{n+1}+0,4)\\=\frac{25}{2}(1-0,6^{n+1})

Bis nach dem dritten Schritt hab ich das jetzt verstanden, aber wie kommt man auf die + 0,4 .... und dann hab ich das ganze gezeigt ?

03.12.2009, 23:53

Maxxxxx

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[quote]Original von Eierkopf

Für alle n gilt:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{25}{2}\cdot(1-0,6^n) \cdot0,6+5\\=\frac{25}{2}(0,6-0,6^{n+1})+5\\=\frac{25}{2}(0,6-0,6^{n+1}+0,4)\\=\frac{25}{2}(1-0,6^{n+1}) \end{eqnarray*}$

Bis nach dem dritten Schritt hab ich das jetzt verstanden, aber wie kommt man auf die + 0,4 .... und dann hab ich das ganze gezeigt?

03.12.2009, 23:59

Eierkopf

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Du hast eine Summe und aus der $\begin{eqnarray*} \frac{25}{2} \end{eqnarray*}$ ausklammern.

04.12.2009, 00:04

Maxxxxx

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aber die 25/2 sind doch schon ausgeklammert... die + 5 verschwindet und +0.4 taucht in der klammer auf?`

04.12.2009, 00:12

Eierkopf

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Die 25/2 sind vorne "ausgeklammert", aber das soll auch nochmals (hinten) gemacht werden, da noch ein Summand zu berücksichtigen ist.
Bedenke wie schon ganz weit oben:
$\begin{eqnarray*} \frac{5}{0,4}=\frac{25}{2} \end{eqnarray*}$
und jetzt hier $\begin{eqnarray*} \frac{5}{\frac{25}{2}}=0,4 \end{eqnarray*}$

Man könnte auch sagen, schreibe die 5 als Produkt aus $\begin{eqnarray*} \frac{25}{2} \end{eqnarray*}$ und einer zweiten Zahl. Das ist dann 0,4!!! Dann Distributivgesetz!!

04.12.2009, 00:22

Maxxxxx

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mh.. joa ich habs immer noch nicht so ganz verstanden .. da würde ich nie auf alles alleine kommen .. muss mir das nochmal schlüssig machen ..

gibt es vielleicht noch einen anderen Lösungsweg der vielleicht schlüssiger ist?

Sonst muss ich nochmal ne nacht drüber schlafen...

Aber trotzdem dankeschön für die Geduld.. smile

smile

Ich muss mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen ...
LG Max

04.12.2009, 00:27

Eierkopf

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Ein wenig fehlt Dir der Umgang mit Zahlen, ihren Verknüpfungen und den zugehörigen Gesetzen. Aber egal, frage nach, wenn nötig, aber vergesse nicht die eigene Mühe!

Viel Erfolg! smile

smile

04.12.2009, 00:29

Maxxxxx

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Dankeschön ich versuch es Augenzwinkern

Augenzwinkern

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