Lineare Abbildung -> Ableitung

03.12.2009, 20:54

JonasIngo

Lineare Abbildung -> Ableitung

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Eine Abbildung F (P³ der Vektorraum der Polynome vom Grad <= 3) beschreibt die Ableitung P(x) -> P'(x) der Polynome.

a) Zeige, dass F eine lineare Abbildung ist. -> Habe ich hinbekommen, ist ja nicht so schwer.

b) Gegeben sei im Urbildraum und im Bildraum die Basis 1,x,x²,x³. Durch welche Matrix A wird F beschrieben?

Ich dachte nun daran, die Basis in der Monombasis zu schreiben, dann hätte ich ja die Vektoren (1,0,0,0)' ... (0,0,0,1)'

F(x) soll jetzt ja durch A(x) beschrieben werden.

Mein Problem ist ja, dass wenn x³ im Bildraum eine Basis ist, dann ist ja seine Aufleitung (1/4x^4) nicht Element der Polynome vom Grad <= 3.

Soll man das gar nicht beachten oder verstehe ich die Aufgabe einfach falsch?

Dachte fürs Licht-ins-Dunkle-bringen.

Grüße aus der Audi-Heimat,

Jonas.

03.12.2009, 21:36

Leopold

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RE: Lineare Abbildung -> Ableitung

Zitat:

Original von JonasIngo
Mein Problem ist ja, dass wenn x³ im Bildraum eine Basis ist, dann ist ja seine Aufleitung (1/4x^4) nicht Element der Polynome vom Grad <= 3.

Der Sinn dieser Aussage erschließt sich mir nicht. Ich verstehe schon nicht, wie x³ eine Basis sein soll. Vielmehr ist x³ ein Basiselement, also Teil einer Basis. Und dann sollst du ja auch nicht integrieren, sondern ableiten.

Vielleicht schreiben wir das einmal genauer auf. Deine Basiselemente sind die vier Polynome

$\begin{eqnarray*} e_0: \ x \mapsto 1 \, ; \ \ e_1: \ x \mapsto x \, ; \ \ e_2: \ x \mapsto x^2 \, ; \ \ e_3: \ x \mapsto x^3 \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du nur $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ (also das Differenzieren) auf diese Basiselemente anwenden und die Bilder wieder als Linearkombinationen dieser Basis schreiben.

Wenn du $\begin{eqnarray*} e_3 \end{eqnarray*}$ differenzierst, erhältst du

$\begin{eqnarray*} e_3': \ x \mapsto 3x^2 \end{eqnarray*}$

In der Sprache von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ heißt das

$\begin{eqnarray*} F(e_3) = 3 e_2 \end{eqnarray*}$

Und das ist schon die Linearkombination, denn ausführlich kann man das so lesen:

$\begin{eqnarray*} F(e_3) = 0 e_0 + 0 e_1 + 3 e_2 + 0 e_3 \end{eqnarray*}$

Damit lautet die Abbildungsmatrix in der vierten Spalte

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} . & . & . & 0 \\ . & . & . & 0 \\ . & . & . & 3 \\ . & . & . & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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