Gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung, Separation der Variablen

03.12.2009, 21:06

Wiesen

Gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung, Separation der Variablen

hallo Mathefreunde,
ich versuche folgendes Problem zu lösen, dessen Lösung ich noch nicht kenne.

Gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung: y'=ytan(x) , y(0)=1

Mein Vorgehen:

Separation der Variablen: dy/dx = ytan(x)
<=> dy/y = tan(x)dx
<=> Int(dy/y)=Int(tan(x)dx)
<=> ln|y| = ln|1/cos(x)| + c
<=> |y| = |1/cos(x)| + e^c
Mit der Anfangsbedingung eingesetzt : 1 = 1 + e^c
Diese Gleichung ist für jedes C falsch.
Wo liegt mein Fehler oder gibt es keine Lösung mit dieser Anfangsbedingung?

Gruss Wiesen

03.12.2009, 21:14

Abakus

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung, Separation der Variablen
Hallo!

Zitat:

Original von Wiesen
ln|y| = ln|1/cos(x)| + c
<=> |y| = |1/cos(x)| + e^c

Rechne das mal ausführlich.

Grüße Abakus smile

PS: bitte versuche dich mal am Formeleditor Augenzwinkern

03.12.2009, 21:28

Wiesen

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung, Separation der Variablen
Danke für deinen Hinweis Abakus,
hier die Fortsetzung:

$\begin{eqnarray*} \ln(y) = \ln(\frac{1}{\cos(x)}) + C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |y| = e^{|\frac{1}{\cos(x)}|+c} \end{eqnarray*}$
mit den Anfangsbedingungen:
$\begin{eqnarray*} 1=e^{1+c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow C=-1 \end{eqnarray*}$
Also haben wir nun:
$\begin{eqnarray*} y=e^{|\frac{1}{\cos(x)}|-1} \end{eqnarray*}$
Was die Lösung dieser Differentialgleichung ist.
Die Betragsstriche kann man noch weglassen, weil der cos(x) mit der Anfangsbedingung positiv ist. Kann man den Betrag auch in der Endlösung weglassen?

Ist das so richtig?
Der Betrag gefällt mir noch nicht, so ist das noch keine Funktion, oder?

lg

03.12.2009, 21:36

Abakus

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung, Separation der Variablen
Du müsstest überlegen, für welche x die DGL überhaupt definiert ist, hier ist der Tangens entscheidend. Damit kannst du dann weiter untersuchen, was mit dem Betrag los ist.

Grüße Abakus smile

03.12.2009, 21:44

Wiesen

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung, Separation der Variablen
hmmm, also der Tangens ist für $\begin{eqnarray*} (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ definiert, in diesem Intervall ist der Cosinus ebenfalls immer positiv. Somit kann der Betrag weggelassen werden und ich bin fertig.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y = e^{\frac{1}{\cos(x)}-1} \end{eqnarray*}$

ist somit die (einzige) Lösung dieser DGL mit Anfangsbedingung y(0)=1
Die Lösung kann auch nicht weiter vereinfacht werden.

Vielen dank für deine blitzschnellen Antworten Abakus Freude

Grüsse,
Wiesen

ps: bitte um kurze Bestätigung der Richtigkeit

03.12.2009, 21:47

Abakus

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung, Separation der Variablen
Sieht gut aus Freude

, allerdings habe ich so genau nicht geguckt. Wenn du allgemein startest, ist noch oft (wie hier) $\begin{eqnarray*} y = 0 \end{eqnarray*}$ möglich, darauf bitte achten.

Grüße Abakus smile

03.12.2009, 21:52

Wiesen

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung, Separation der Variablen
alles klar. Merci

CLOSED

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