Majorantenkriterium

04.12.2009, 09:52

Der Lustige Peter

Majorantenkriterium

Hallo zusammen,
ist $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{x})^n \end{eqnarray*}$ eine Majorante zu $\begin{eqnarray*} (sin(x))^n \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (0,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ ?
Ich habe versucht, das ganze irgendwie zu verifizieren und habe
$\begin{eqnarray*} sin(x)\leq \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ angesetzt, sehe aber nicht, wie man sinnvoll beweisen kann, dass $\begin{eqnarray*} xsin(x)\leq1 \end{eqnarray*}$ . Kann mir jemand weiterhelfen?

04.12.2009, 09:58

klarsoweit

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RE: Majorantenkriterium
Da ich das Gefühl habe, daß da in Wahrheit eine andere Aufgabe hinter steckt, würde ich lieber wissen, wie diese aussieht.

04.12.2009, 10:14

Der Lustige Peter

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RE: Majorantenkriterium
Wenn du darauf bestehst Augenzwinkern

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}~sin^n(x)~dx \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert, wenn n gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ geht

04.12.2009, 10:44

Mystic

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Ich würde mit der Bezeichnung

$\begin{eqnarray*} I_n:=\int_0^{\pi/2}\sin^n(x)\,dx \end{eqnarray*}$

mal die Rekursion

$\begin{eqnarray*} I_n =(1-\frac 1n)I_{n-2} \end{eqnarray*}$

aufstellen, womit der weitere Weg dann klar sein dürfte...

04.12.2009, 11:13

Der Lustige Peter

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Ich muss die Rekursion beweisen?
Das heißt vollständige Induktion, oder?
Da zu müsste ich dann aber noch das Integral von $\begin{eqnarray*} (sin(x))^n \end{eqnarray*}$ kennen.

04.12.2009, 11:56

klarsoweit

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Nein, du mußt lediglich auf $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2}\sin^n(x)\,dx = \int_0^{\pi/2}\sin(x) \cdot \sin^{n-1}(x)\,dx \end{eqnarray*}$ die partielle Integration anwenden.

Nebenbei fragt man sich, was du mit

Zitat:

Original von Der Lustige Peter
ist $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{x})^n \end{eqnarray*}$ eine Majorante zu $\begin{eqnarray*} (sin(x))^n \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (0,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ ?

gewollt hättest, selbst wenn es so wäre.

04.12.2009, 12:31

Der Lustige Peter

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Zitat:

Original von klarsoweit
Nebenbei fragt man sich, was du mit

Zitat:

gewollt hättest, selbst wenn es so wäre.

Mein Gedanke war, dass $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2}{(\frac{1}{x})^n\ dx} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert, wenn n gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht...

Zitat:

Original von klarsoweit
Nein, du mußt lediglich auf $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2}\sin^n(x)\,dx = \int_0^{\pi/2}\sin(x) \cdot \sin^{n-1}(x)\,dx \end{eqnarray*}$ die partielle Integration anwenden.

Also $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2}\sin^n(x)\,dx = \int_0^{\pi/2}\sin(x) \cdot \sin^{n-1}(x)\,dx=[sin^{n-1}cos]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}\cos*-\cos \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =0+\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}cos^2 \end{eqnarray*}$
Aber das führt doch zu nix!

04.12.2009, 12:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von Der Lustige Peter
Mein Gedanke war, dass $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2}{(\frac{1}{x})^n\ dx} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert, wenn n gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht...

Da hast du schon Probleme, das unbestimmte Integral zu berechnen.

Und deine partielle Integration ging auch in die Hose.
Was ist eine Stammfunktion von sin(x)? Was ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} sin^{n-1}(x) \end{eqnarray*}$ ?

Warum ist es bloß so schwer, einfache Regeln anzuwenden? verwirrt

04.12.2009, 13:09

Der Lustige Peter

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Zitat:

Original von klarsoweit
Da hast du schon Probleme, das unbestimmte Integral zu berechnen.

War auch gar nicht meine Absicht. Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} 1/x^2 \end{eqnarray*}$ bereits existiert und das ganze wird ja immer kleiner...

Zitat:

Original von klarsoweit
Und deine partielle Integration ging auch in die Hose.

Stamfunktion zu $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -\cos(x) \end{eqnarray*}$ und Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sin^{n-1}(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (n-1)\sin^{n-2}(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$ .
Zugegeben. Da war ein bischen der Wurm drin. Danke für den Hinweis.
Ich habe folglich $\begin{eqnarray*} [\sin^{n-1}(-\cos(x)]-\int_0^{\pi/2}{(n-1)\sin^{n-2}(x)(\cos(x))(-\cos(x))} \end{eqnarray*}$

04.12.2009, 13:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von Der Lustige Peter
War auch gar nicht meine Absicht. Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} 1/x^2 \end{eqnarray*}$ bereits existiert und das ganze wird ja immer kleiner...

Nein, das Integral darüber existiert auf dem Intervall [0; pi/2] nicht.

Zitat:

Original von Der Lustige Peter
Ich habe folglich $\begin{eqnarray*} [\sin^{n-1}(-\cos(x)]-\int_0^{\pi/2}(n-1)\sin^{n-2}(x)(\cos(x))(-\cos(x)) \end{eqnarray*}$

Auch das hat kleine formale Schwächen. So ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} [\sin^{n-1}(-\cos(x)]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2}(n-1)\sin^{n-2}(x)(\cos(x))(-\cos(x))~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt schreibe cos²(x) = 1 - sin²(x) und bedenke, daß obiger Ausdruck gleich $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2}~\sin^n(x)~dx \end{eqnarray*}$ ist. Du kannst dann die entstehende Gleichung nach diesem Integral auflösen.

07.12.2009, 18:33

Der Lustige Peter

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Vielen Dank.
Hat ein bischen gedauert, aber jetzt hab ich's. Freude

Gruß,
Peter

07.12.2009, 20:23

Mystic

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Wenn du den Weg gegangen bist, den ich oben angedeutet habe, nämlich mit der Rekursion

$\begin{eqnarray*} I_n=(1-\frac 1n) I_{n-2} \quad (n \ge 2) \end{eqnarray*}$

so würde mich dann echt noch interssieren, wie du weiter geschlossen hast, dass die $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge bilden...

09.12.2009, 08:49

Mystic

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Ich finde, dass der Threadersteller seinen nickname zu Recht hat, denn was er hier macht, ist ja echt lustig... Einerseits hat er nämlich irre Troubles, wenn es um die Herleitung von

$\begin{eqnarray*} I_n=(1-\frac 1n) I_{n-2} \quad (n \ge 2) \end{eqnarray*}$

geht, obwohl da nur eine simple partielle Integration dahintersteckt, andererseits scheint es ihm offenbar trivial zu sein, dass aus dieser Formel schon folgt, dass die $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge bilden, was es aber nicht ist... Falls da jemand glaubt, dass ein unendliches Produkt von Zahlen im Intervall (0,1) automatisch 0 ist, so wäre das wohl ein Riesenirrtum, wie z.B. die Formel

$\begin{eqnarray*} \prod_{p \in \mathbb P} (1-\frac 1 {p^2}) =\frac 6{\pi^2} \end{eqnarray*}$

sehr schön zeigt...

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