Flächen- und Volumenberechnungen richtig?

04.12.2009, 13:09	Rico77	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächen- und Volumenberechnungen richtig? Hallo an alle! Habe hier eine Kombinationsaufgabe zur Flächen- und Rotationsvolumenberechnung, sowie eine weitere Flächenberechnung aus MathematikII ! Könnte mir jemand sagen, ob meine Lösungen richtig sind? Wäre euch sehr dankbar! Aufgabe 1: Eine Fläche in der (xy)-Ebene wird durch folgende Kurven begrenzt: 1. y=x-ln(x) 2. x=1 3. x=3 4. y=0 Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche und das Volumen des Körpers, der durch Rotation dieser Fläche um die x-Achse entsteht! Nun zu meiner Lösung: $\begin{eqnarray} A=\int_{a}^{b}~f(x)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=\int_{1}^{3}~x-ln(x)~dx=\left[\frac{1}{2}x^{2}-x(lnx-1)\right]_{1}^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=\frac{1}{2}3^{2}-3(ln3-1)-\frac{1}{2}1^{2}-1(ln1-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=4,50-0,29-(0,5+1)=2,71FE \end{eqnarray}$ dazu das Rotationsvolumen: $\begin{eqnarray} V_{x}=\pi \int_{a}^{b}~f^2(x)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_{x}=\pi \int_{1}^{3}~(x-ln(x))^2~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_{x}=\pi \int_{1}^{3}~x^2-2xln(x)+ln(x)^2~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_{x}=\left[\frac{1}{3}x^3-(x^2ln(x)-\frac{1}{2}x^2)+x(lnx)^2-2xln(x)+2x\right]_{1}^{3}\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_{x}=(9-(91,098-4,50)+3,62-(61,098)+6-(\frac{1}{3}-(10-\frac{1}{2})+0-20+2))\pi \end{eqnarray}$ macht bei mir: $\begin{eqnarray} V_{x}=(6,65-2,83)\pi=3,82\pi VE \end{eqnarray}$ Aufgabe 2: Eine Fläche in der (xy)-Ebene wird durch die mittels kartesischen Koordinaten gegebenen folgenden Kurven begrenzt: 1. x=4 2. x=6 3. y=0 4. $\begin{eqnarray} y=\frac{x^2+5x}{x^2-9} \end{eqnarray}$ Berchnen Sie den Flächeninhalt! Nun wiedermal zu meiner Lösung: Als erstes habe ich mit 4. als Nebenrechnung eine Polynomdivision gemacht. Das ergibt: $\begin{eqnarray} x^2+5x / x^2-9 = 1+\frac{5x+9}{x^2-9} \end{eqnarray}$ danach erfolgte eine Partialbruchzerlegung: $\begin{eqnarray} \frac{5x+9}{x^2-9}=\frac{5x+9}{(x+3)(x-3)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{5x+9}{(x+3)(x-3)}=\frac{a}{(x+3)}+\frac{b}{(x-3)} \end{eqnarray}$ das ganze mal den Hauptnenner, der da wäre (x+3)(x-3), macht dann: $\begin{eqnarray} 5x+9=a(x-3)+b(x+3)=ax-3a+bx+3b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 5x=ax+bx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 9=-3a+3b \end{eqnarray}$ das ergibt dann: $\begin{eqnarray} 5=a+b \Rightarrow b=5-a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 9=-3a+3(5-a)=-3a+15-3a \end{eqnarray}$ macht dann: $\begin{eqnarray} -6=-6a\Rightarrow a=1 \end{eqnarray}$ daraus hab ich dann b berechnet: $\begin{eqnarray} b=5-a=5-1=4 \end{eqnarray}$ somit kann man für die Ausgangsgleichung schreiben: $\begin{eqnarray} y=1+ln(x-3)+4ln(x-3) \end{eqnarray}$ nun zur Flächeninhaltsberechnung: $\begin{eqnarray} A=\int_{4}^{6}~f(x)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=\left[x+ln(x+3)+4ln(x-3)\right]_{4}^{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=6+ln(9)+4ln(3)-(4+ln(7)+4ln(1)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=6+2,19+4,39-(4+1,95+0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=12,58-5,95=6,63FE \end{eqnarray*}$ Das wars dann auch erstmal! War ja auch ziemlich umfangreich! MfG Rico
04.12.2009, 14:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Brav gerechnet! Die Ergebnisse stimmen im Großen und Ganzen bis auf Rundungsfehler. Die exakten Zahlenwerte: 1) (A) 2,704; (V) 3,81 pi 2) 6,65 mY+
04.12.2009, 14:38	Rico77	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die superschnelle Antwort! Da bin ich ja froh, dass alles stimmt! MfG Rico

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