Integrieren mit Matrix darstellen

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Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »
Integrieren mit Matrix darstellen
Hallo,

habe ein Beispiel in meinem Skript gefunden, was mir ein wenig Schwierigkeiten bereitet:

Es sei der Vektorraum aller rellen Polynome vom Grad höchstens n. Dies ist ein -Vektorraum der Dimension n+1, als Basis wollen wir nehmen.

Die folgenden Abbildungen sind linear:

Integrieren: (als Abbildung : ):



(hier ist das bestimmte Integral gemeint, keine beliebige Stammfunktion).


1.

Verstehe nicht ganz wieso es sich hier um eine lineare Abbildung handelt:

Wenn ich in ausrechne, komme ich nicht auf .


2.

Das Beispiel gibt es auch für die Ableitung:

Ableiten: (als Abbildung : ):



Auch hier käme ich nicht auf , weil hier mir z.B. das X² dann in der Quere steht für (u+v)²





Weiter...:

Da heißt es dann für das Integrieren: Bezüglich der Basen M_2 und M_3 erhalten wir:




Das heißt ja nun, dass ich die Integralfunktion dadurch bekomme, dass ich die Funktion

mit der Matrix multiplizieren muss, richtig?

Nur wie sieht dann die Funktion g(X) als Spaltenvektor geschrieben aus, sodass ich dann nachher die Integralfunktion herausbekomme, wenn ich mit der Matrix multipliziere? Verstehe das nicht wirklich...


Hinweis: Also über den Spalten (3 Spalten) der Matrix steht dann jeweils noch:

{M_3)_\beta(1) ; {M_3)_\beta(X) , {M_3)_\beta(X²)



Das muss ja auch irgendwie zusammenhängen mit der Matrix etc....


Bitte um Hilfe, dankeschön
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Der Integraloperator ist selbstverständlich linear. Das solltest Du sogar noch aus der Schule wissen. Dein Problem ist das Verständnis des Operators.

Der Integraloperator bildet Funktionen auf Funktionen ab, und nicht Funktionen auf Zahlen (bzw. beim bestimmten Integral auch auf Zahlen, aber selbst da ist er linear)! Offensichtlich ist

oder in Operatorschreibweise



Diese Eigenschaft gilt sowohl für das bestimmte, als auch für das unbestimmte Integral, und genau das ist die erste Linearitätseigenschaft von . Das was Du machst ist, erst das bestimmte Integral auszurechnen , und dann die Funktion selber auf Linearität zu untersuchen. Und das klappt natürlich nicht im Allgemeinen.

Zu deinem zweiten:

Du hast hier genau das selbe Problem. Der Ableitungsoperator bildet wieder Funktionen auf Funktionen ab, und nicht Funktionen auf Zahlen. Die Summenregel kennst Du sogar aus der Schule, denn offensichtlich ist



Was der Operator macht ist der Funktion f seine Ableitung zu ordnen. Also ist hier wieder :

(Die doppelte Klammersetzung ist hier wichtig)

Und damit gilt auch hier die erste Linearitätseigenschaft.

Zitat:
Nur wie sieht dann die Funktion g(X) als Spaltenvektor geschrieben aus, sodass ich dann nachher die Integralfunktion herausbekomme, wenn ich mit der Matrix multipliziere?


Dazu müsste man es erst einmal ordentlich ausformulieren. Was Du machst, ist die Koeffizienten des Polynoms auf die Koeffizienten des Integralpolynoms abzubilden. Die Koeffizienten des Polynom kannst Du in einen Spaltenvektor schreiben, und die Koeffizienten definieren das Polynom eindeutig.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

1) Hmm so ganz verstehe ich die Sache noch nicht:

Zitat:
Der Integraloperator bildet Funktionen auf Funktionen ab, und nicht Funktionen auf Zahlen (bzw. beim bestimmten Integral auch auf Zahlen, aber selbst da ist er linear)! Offensichtlich ist oder in Operatorschreibweise



Also wie du mehrfach betonst ist der wesentliche Unterschied das man hier Funktionen auf Funktionen abbildet und nicht Funktionen auf Zahlen.


Wenn ich Funktionen nach Zahlen abbilde hätte ich z.B.

IR²--IR² 3x--> x

Bei Funktionen auf Funktionen wäre es:

IR²-->IR² 3x -- > 3x² wohl doch nicht, weil ich hier auch einer Zahl etwas zuordne? Wie sähe ein anderes Beispiel aus? (außer Integraloperator)


Weiter: Also das heißt meine Elemente u und v des Vektorraums, für die die Regeln der linearen Abbildung gelten sollen sind hier ganze Funktionen, und nicht wie z.B. bei
IR²-->IR² : x--> 2x Zahlen die anderen Zahlen zugeordnet werden.



Also so ganz habe ich es noch nicht kapiert glaub ich, woran sehe ich denn wann Funktionen anderen Funktionen zugeordnet werden?
Weil f(x)=x ist ja auch eine Abbildung von Funktionen nach Funktionen, da gehe ich ja im Prinzip genauso vor wie ich es oben bei mir "versucht" habe.


Zitat:
Was der Operator macht ist der Funktion f seine Ableitung zu ordnen. Also ist hier wieder


Bei f(x)=2x ordnet der Operator der Funktion f eben 2x (andere Funktion) zu.

Verstehe irgendwie noch nicht den Unterschied, ich weiß zwar glaub was du meinst aber ab wann man von Funktionen werden Funktionen zugeordnet spricht und von Funktionen werden Zahlen (bzw. andersrum) spricht ist mir nicht klar.

Weil der Abbildung beta werden letztlich doch trotzdem Zahlen zugeordnet, wie bei jeder anderen Funktion.


2)

Zitat:
Dazu müsste man es erst einmal ordentlich ausformulieren. Was Du machst, ist die Koeffizienten des Polynoms auf die Koeffizienten des Integralpolynoms abzubilden.


Stimmt ! Ich bilde hier nur die Koeffizienten ab, nicht aber die "X oder X²", also wie diese abgebildet werden.

Wie würde das dann richtig aussehen? Würde mich interessieren, ich hätte ja dann bisher nur die Koeffizienten abgebildet, der Rest fehlt noch. Wie sähe eine komplette Matrix dann aus? Sind ja dann sicher mehrere Matrizen multipliziert...




Vielen Dank Mazze für deine Hilfe Freude
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn ich Funktionen nach Zahlen abbilde hätte ich z.B.


Folgendes solltest Du dir jetzt sehr zu herzen nehmen, da ich es sehr häufig von Dir sehe :

Eine Funktion

bildet Vektoren mit zwei Komponenten auf Vektoren mit zwei Komponenten ab. Daher macht die Schreibweise überhaupt keinen Sinn. Es sei denn Du erklärts mir was für

der Ausdruck bedeuten soll.
Wenn Du eine Funktion haben möchtest die irgendeinem Element einer Menge M irgend eine reelle Zahl zuordnen soll, dann ist es immer



Zum nächsten: Du musst sehr gut aufpassen was Du schreibst. Nehmen wir an Du hast zwei Funktionen :




und




Dann beschreibt der Ausdruck eine Zahl, wärend der Ausdruck eine Funktion beschreibt. Insbesondere ist zum Beispiel für den Ableitungsoperator



Nehmen wir an Du hast zwei Funktionen und , und nehmen wir an beide Funktionen haben den gleichen Definitionsbereich . Dann gilt



Daher können wir auch schreiben :



Sprich wenn wir ein x einsetzen in die Funktion und das selbe x in die Funktion einsetzen, so sind die Funktionswerte beider Funktionen gleich.

Nun zu deinen Polynomräumen. Deine Räume bestehen aus Funktionen vom Typ :

genauer





Der Integraloperator zum Beispiel bildet wie folgt ab :



und wie ichs dir gerade gezeigt habe, kann man entweder

schreiben, oder

Jetzt zur Matrix schreibweise. Zunächst stellen wir folgendes fest :



Wir ordnen jetzt jedem Polynom den Koeffizienten Vektor zu , also :

bzw :



(Das Lambda_4 oben steht ist bewusst gewählt !)

Und jetzt stellen wir zunächst fest : Lineare Abbildungen von Pol_2 nach Pol_3 haben also 3 Spalten und 4 Zeilen. Die Matrix die den Integraloperator bezüglich der Basen beschreibt hast Du ja schon gepostet :



Rechnen wir mal ein Beispiel. Nehmen wir an wir haben das Polynom , die Stammfunktion, bis auf Konstante, ist dann . Es ist



Wenden wir diesen Vektor jetzt auf die Matrix an :
, und wir stellen fest, das



genau die Koeffizienten der Stammfunktion sind.
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