(kommutierende) Endomorphismen

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Nani Auf diesen Beitrag antworten »
(kommutierende) Endomorphismen
Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper IK.

A und B seien kommutierende Endomorphismen in V, d.h. es gelte AB = BA.

Wie zeigt man nun aber, dass wenn v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert Lambda ist, dass dann auch Bv ein Eigenvektor von A zum Eigenwert Lambda ist?

Ich danke für die Ratschläge!
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige unter Verwedung dieser Kommutativität, dass ist, das ist ein Einzeiler!
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich? :-)

..wieso aber das Lambda (auf der rechten Seite) ?
..also: wie kommst du darauf?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Definition eines Eigenvektors zum Eigenwert verwendet ihr denn?! geschockt
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Ah - sorry, ich habe nur die nächstfolgende Umformung angeschaut, statt die ganze.

Also, meine Umformung sieht wie folgt aus:

jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ja wohl nicht dein Ernst sein?! Was soll das alles bedeuten?
 
 
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Ouw, da hab ich die Definition durch Matrizen noch dazugemischt - sorry!

--> ich verbessere:

jestergast Auf diesen Beitrag antworten »

Auch das kann ich noch nicht nachvollziehen. Was hat denn zum Beispiel dieses E da zu suchen?

Nutze die Kommutativität aus, damit du ausnutzen kannst, dass v ein EV von A zum EW Lambda ist.
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Um ehrlich zu sein, bin ich momentan ein wenig "verwirrt"
Deshalb würde ich auch nicht behaupten, dass folgende Antwort richtig sei (dennoch bin ich aber auf sie gekommen..):

jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe mich irgendwie nicht mehr in der Lage, da noch mehr Tipps zu geben, ohne direkt die Lösung zu verraten, also hier kommt's, hoffentlich lernst du etwas daraus:



Also ist Bv ein EV von A zum EW Lambda, was zu zeigen war.
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh..ja, ich habe gesehen, warum ich es falsch gemacht habe..(habe direkt auf das Lambda geschlossen, was nicht gut war..)

Darf ich noch rasch zwei Fragen stellen?

1.) Wenn K = R ist und A ein Endomorphismus in V. Gibt es dann immer einen Eigenvektor zu A?

--> Meine Antwort: NEIN - Gegenbeispiel:


2.) K = C , ansonsten dasselbe wie in 1.)
--> Meine Antwort: JA - zum einen, weil mein Gegenbeispiel von vorher in C lösbar ist, zum anderen müsste man das wahrscheinlich "schön" beweisen, wozu mir aber leider die Idee fehlt..
Vorschläge?

Herzlichen Dank für die Hilfe! smile
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nani


1.) Wenn K = R ist und A ein Endomorphismus in V. Gibt es dann immer einen Eigenvektor zu A?

--> Meine Antwort: NEIN - Gegenbeispiel:




"Deine Antwort" ist gut... Wieso stellst du hier die Frage, die ich dir vorhin schon beantwortet habe?

Zum Körper C: Da hat tatsächlich jeder Endomorphismus Eigenvektoren, da nach dem Fundamentalsatz der Algebra jedes Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir! =)
supertux Auf diesen Beitrag antworten »
B(v)=0?
Und was ist, falls B(v)=0 ist?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: B(v)=0?
Zitat:
Original von supertux
Und was ist, falls B(v)=0 ist?


Du hast Recht, der Nullvektor ist per definitionem erstmal kein Eigenvektor. Nun kann man diese Tatsache entweder einfach ignorieren, oder die Aufgabe wie folgt umformulieren: Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit zwei kommutierenden Endomorphismen . Sei ein Eigenwert von . Dann ist der Eigenraum (von zum Eigenwert ) -invariant, d.h. .
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