(kommutierende) Endomorphismen |
04.12.2009, 16:29 | Nani | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(kommutierende) Endomorphismen A und B seien kommutierende Endomorphismen in V, d.h. es gelte AB = BA. Wie zeigt man nun aber, dass wenn v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert Lambda ist, dass dann auch Bv ein Eigenvektor von A zum Eigenwert Lambda ist? Ich danke für die Ratschläge! |
||||
04.12.2009, 16:34 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zeige unter Verwedung dieser Kommutativität, dass ist, das ist ein Einzeiler! |
||||
04.12.2009, 16:54 | Nani | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wirklich? :-) ..wieso aber das Lambda (auf der rechten Seite) ? ..also: wie kommst du darauf? |
||||
04.12.2009, 16:57 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welche Definition eines Eigenvektors zum Eigenwert verwendet ihr denn?! |
||||
04.12.2009, 17:34 | Nani | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah - sorry, ich habe nur die nächstfolgende Umformung angeschaut, statt die ganze. Also, meine Umformung sieht wie folgt aus: |
||||
04.12.2009, 17:49 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann ja wohl nicht dein Ernst sein?! Was soll das alles bedeuten? |
||||
Anzeige | ||||
|
||||
04.12.2009, 18:05 | Nani | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ouw, da hab ich die Definition durch Matrizen noch dazugemischt - sorry! --> ich verbessere: |
||||
04.12.2009, 18:57 | jestergast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auch das kann ich noch nicht nachvollziehen. Was hat denn zum Beispiel dieses E da zu suchen? Nutze die Kommutativität aus, damit du ausnutzen kannst, dass v ein EV von A zum EW Lambda ist. |
||||
04.12.2009, 20:18 | Nani | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um ehrlich zu sein, bin ich momentan ein wenig "verwirrt" Deshalb würde ich auch nicht behaupten, dass folgende Antwort richtig sei (dennoch bin ich aber auf sie gekommen..): |
||||
04.12.2009, 22:13 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich sehe mich irgendwie nicht mehr in der Lage, da noch mehr Tipps zu geben, ohne direkt die Lösung zu verraten, also hier kommt's, hoffentlich lernst du etwas daraus: Also ist Bv ein EV von A zum EW Lambda, was zu zeigen war. |
||||
04.12.2009, 23:30 | Nani | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahh..ja, ich habe gesehen, warum ich es falsch gemacht habe..(habe direkt auf das Lambda geschlossen, was nicht gut war..) Darf ich noch rasch zwei Fragen stellen? 1.) Wenn K = R ist und A ein Endomorphismus in V. Gibt es dann immer einen Eigenvektor zu A? --> Meine Antwort: NEIN - Gegenbeispiel: 2.) K = C , ansonsten dasselbe wie in 1.) --> Meine Antwort: JA - zum einen, weil mein Gegenbeispiel von vorher in C lösbar ist, zum anderen müsste man das wahrscheinlich "schön" beweisen, wozu mir aber leider die Idee fehlt.. Vorschläge? Herzlichen Dank für die Hilfe! |
||||
04.12.2009, 23:58 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Deine Antwort" ist gut... Wieso stellst du hier die Frage, die ich dir vorhin schon beantwortet habe? Zum Körper C: Da hat tatsächlich jeder Endomorphismus Eigenvektoren, da nach dem Fundamentalsatz der Algebra jedes Polynom in Linearfaktoren zerfällt. |
||||
05.12.2009, 00:30 | Nani | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich danke dir! =) |
||||
27.04.2011, 21:37 | supertux | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
B(v)=0? Und was ist, falls B(v)=0 ist? |
||||
27.04.2011, 22:01 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: B(v)=0?
Du hast Recht, der Nullvektor ist per definitionem erstmal kein Eigenvektor. Nun kann man diese Tatsache entweder einfach ignorieren, oder die Aufgabe wie folgt umformulieren: Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit zwei kommutierenden Endomorphismen . Sei ein Eigenwert von . Dann ist der Eigenraum (von zum Eigenwert ) -invariant, d.h. . |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |