lineares Gleichungssytem (etwas schwierig)

04.12.2009, 17:11

hari78784

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lineares Gleichungssytem (etwas schwierig)

hallo.
hab ein etwas schwieriges gleichungssystem zu lösen.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-y+2}+\frac{1}{1-x-y}=0,1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-y+2}+\frac{1}{x+y-1}=0,3 \end{eqnarray*}$
so:
$\begin{eqnarray*} 1\left(1-x-y\right)+1\left(x-y+2\right)=0,1\left(x-y+2\right)\left(1-x-y\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1\left(x+y-1\right)+1\left(x-y+2\right)=0,3\left(x-y+2\right)\left(x+y-1\right) \end{eqnarray*}$
daraus dann:
$\begin{eqnarray*} 0,1x²+0,1x-0,1y²-1,7y=-2,8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -0,3x²+0,3y²+1,7x-0,9y=-1,6 \end{eqnarray*}$
dann hab ich die 1. Gleichung mit 2 multipliziert und die x² und y² wegbekommen.
dann kam ich auf:
$\begin{eqnarray*} 0,3x-5,1y=-8,4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1,7x-0,9y=-1,6 \end{eqnarray*}$
y ist bei mir: 1,642...

rauskommen muss aber {7;4}
weiß jemand was ich falsch mache?

04.12.2009, 17:18

IfindU

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RE: lineares Gleichungssytem (etwas schwierig)
Mach dir dein Leben doch nicht so schwer:
Der erste Summand bei beiden ist exakt gleich, der zweite unterscheidet nur im Vorzeichen. Damit kriegst du schnell raus welchen Wert die einzelnen Brüche haben müssen - und das kannst du dann vereinfachen.

04.12.2009, 17:54

hari78784

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hi.
hab die 2. anfangsgleichung mit -1 multipliziert, dann die 1. summanden der bd. Gleichungen damit wegbekommen.

hatte dann die bd. Gleichungen:
0,3x+0,3y-0,3= -1 und
-0,1x-0,1y+0,1 = 1

ist das ansatzweise richtig oder wo hakt es ?:\

04.12.2009, 17:59

IfindU

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Wie gesagt hätte ich es erstmal zu:
a + b = 0.3
a - b = 0.1

vereinfacht. Hier kann man a und b sehr leicht ausrechnen und hat dann einen Wert für jeden der beiden Brüche; gleichsetzen und den Kehrwert benutzen und schon hat man eine völlig bruchfreie Gleichung.

Wenn du willst such ich noch nach dem vermeindlichen Fehler bei dir, würde dir aber diese Methode ans Herz legen.

04.12.2009, 18:05

hari78784

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das wäre lieb wenn du nach dem fehler mal schauen könntest. die erste methode die ich angewendet habe, kann ich eigentlich wohl.

deine methode die du genannt hast ist mir nicht so ganz klar.
mit: nach a + b = 0.3 und a - b = 0.1 vereinfachen

04.12.2009, 18:14

IfindU

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$\begin{eqnarray*} 0,1x²+0,1x-0,1y²-1,7y=-2,8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -0,3x²+0,3y²+1,7x-0,9y=-1,6 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt meiner Meinung:
2x - 6y = -10

Da passt deine Lösung noch, aber ich sehe keine Möglichkeit sie daraus zu bestimmen, denn du hast durch das ganze multiplizieren so viele Quadrate gehabt, dass du eine Gleichung "opfern" musstest um sie wieder wegzukriegen. (Vlt überseh ich hier aber auch was).

Und zu der Idee eben
$\begin{eqnarray*} a := \frac{1}{x-y+2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x-y} = \frac{-1}{x+y-1} =:b \end{eqnarray*}$
So habe ich die Substitution gedacht, die wirklich zu einem einfachen System führt.

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04.12.2009, 18:20

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@hari78784

Du solltest ruhig auch mal gute Ratschläge annehmen: Der von IfindU vorgeschlagene Weg, einfach die beiden nacheinander zu lösenden einfachen 2x2-linearen Gleichungssysteme zu betrachten, ist wesentlich nervenschonender und auch weniger fehleranfällig als dein Horrorweg des ausgiebigen Ausmultiplizieren. geschockt

geschockt

04.12.2009, 18:26

hari78784

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gute ratschläge nehme ich immer gerne an smile

smile

die methode von IfindU hab ich aber noch nicht begriffen.
wie muss man die gleichung denn aufstellen?

sehe auch wohl dass die 1. beiden summanden gleich sind. aber was mach ich mit denen jetzt?

04.12.2009, 18:29

IfindU

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Denn nennst du a, wie schon oben gesagt - und der zweite Summand, wie schon oben gesagt unterscheidet sich nur um ein Vorzeichen, d.h. oben wäre z.b. +b und in der zweiten -b. Dass die bis auf das Vorzeichen gleich sind, kannst du leicht sehen wenn du dne Bruch mit -1 erweiterst.

04.12.2009, 18:36

hari78784

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also meinst du

a=0,2
b = 0,1
?

04.12.2009, 18:37

IfindU

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Richtig, jetzt setzt du für a und b den jeweiligen Bruch wieder ein und vereinfachst nun ein bisschen und dann kannst du die miteinander verrechnen.

04.12.2009, 18:46

hari78784

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a=0,2
b = 0,1

$\begin{eqnarray*} 0,2 = \frac{1}{x-y+2} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 0,1= \frac{1}{1-x-y} \end{eqnarray*}$

steh aufm schlauch, sorry

04.12.2009, 18:47

IfindU

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Bilde nun mal die Kehrwerte der beiden Gleichungen und vereinfache etwas.

04.12.2009, 18:56

hari78784

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$\begin{eqnarray*} 0,2 \left(x-y+2\right) =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,1 \left(1-x-y\right) =1 \end{eqnarray*}$

dann
$\begin{eqnarray*} 0,2x-0,2y=0,6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -0,1x-0,1y=0,9 \end{eqnarray*}$

die 2. gleichung mit 2 multipliziert und ausgerechnet ergibt
$\begin{eqnarray*} -0,4y=2,4 \end{eqnarray*}$
y=-6

soweit siehts ja ganz gut aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber es soll ja 7 und 4 rauskommen..

04.12.2009, 18:59

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Du machst es dir gern schwer, nicht wahr? Warum gehst du nicht gleich über

$\begin{eqnarray*} x-y+2 &=& \frac{1}{0.2} = 5 \\ x+y-1 &=& \frac{1}{0.1} = 10 \end{eqnarray*}$

bzw. alle Konstanten nach rechts gebracht

$\begin{eqnarray*} x-y &=& 3 \\ x+y &=& 11 \end{eqnarray*}$ .

Sieht doch viel freundlicher aus, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S.: Dein Weg geht auch, aber in der zweiten Gleichung ist dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen - richtig wäre

$\begin{eqnarray*} 0,2 \left(x-y+2\right) =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,1 \left(x+y-1\right) =1 \end{eqnarray*}$

04.12.2009, 19:00

IfindU

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Hab eben einen Fehler übersehen, du hast b falsch zurücksubstituiert, deswegen kommt das falsche bei raus.

Edit: Da warste wohl nen ganzes Eck schneller als ich Arthur Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.12.2009, 19:11

AD

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Ja, sorry für die Einmischung - war wirklich unnötig, da du ja alles voll im Griff hattest. Hammer

Hammer

04.12.2009, 19:17

hari78784

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wie du es gemacht hast kommt auch 7 raus.
die methode ist wirklich viel einfacher. denke einfach zu kompliziert.

versteh dennoch nicht wieso die 2. gleichung(wo ich den vorzeichenfehler habe)
0,1 (x + y - 1)= 1 ist

müsste es nicht 0,1 (x + y - 1) = -1 oder

0,1 (x- y -1 ) = 1 sein?
wegen der brüche dachte ich jetzt.

wenn ihr mir das noch mal klarmachen könntet, wäre super.
dann lass ich euch auch für heute in ruhe smile

smile

04.12.2009, 19:21

IfindU

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Zitat:

Original von hari78784
a=0,2
b = 0,1

$\begin{eqnarray*} 0,2 = \frac{1}{x-y+2} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 0,1= \frac{1}{1-x-y} \end{eqnarray*}$

steh aufm schlauch, sorry

Da ist der Fehler, und der zieht sich durch.

Du hast in diesem Fall nämlich $\begin{eqnarray*} b = \frac{1}{x+y-1} \end{eqnarray*}$ um auf diese Werte zu kommen, und das musst du dann auch wieder einsetzen. Wäre b der andere Bruch gewesen, also $\begin{eqnarray*} b = \frac{1}{1-x-y} \end{eqnarray*}$ käme statt 0,1 nur -0,1 raus. Man darf b so frei wählen, man muss aber wenn mans einmal gewählt für diesen Rechenweg auch behalten, sonst endet es so wie hier, wo plötzlich andere Ergebnisse rauskommen.

@Arthur ich kann hin und wieder auch nicht widersehen ... smile

smile

04.12.2009, 19:24

hari78784

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oki. danke für eure hilfe. werds morgen nochmal in aller ruhe nachrechnen.
schönen abend wünsch ich noch.

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