Erweiterung der Torsionsuntergruppe durch torsionsfreie Gr. |
| 04.12.2009, 18:22 | Fenio | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Erweiterung der Torsionsuntergruppe durch torsionsfreie Gr. "Ist 0 -> A -> B -> C -> 0 eine exakte Sequenz, so nennt man die Gruppe B eine Erweiterung von A um C. Zeigen Sie, daß jede abelsche Gruppe B die Erweiterung ihrer Torsionsuntergruppe A um eine torsionsfreie Gruppe ist. C" Die kursiven Buchstaben sind von mir eingefügt um das ganze übersichtlich zu halten. Generell habe ich mir bis jetzt folgendes überlegt: - eine Torsionsuntergruppe enthällt nur die Elemente endlicher Ordnung und diese werden durch den homomorphismus der exakten Reihe (f:A -> B) auf 0 abgebildet. Wenn ich die exakte Reihe aber richtig verstanden habe muss dieses f injektiv sein, es darf also nur f(0) = 0 sein. - eine torsionsfreie Gruppe ist eben genau die abelsche Gruppe B, faktorisiert mit der TorsionsUG ist und aus der exakten Sequenz folgt das eben die Elemente endlicher Ordnung von B der kern von C sind, was ja heisst das die Elemente endlicher Ordnung in der 0 "verschwinden". Meine Frage ist nun ob das schon ausreicht. Es kommt mir ein bisschen wenig vor. Zusätzlich habe ich probleme das ganze exakt zu schreiben. Bin über jeden Hinweis dankbar. Abgabe ist Montag. |
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| 04.12.2009, 18:41 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Erweiterung der Torsionsuntergruppe durch torsionsfreie Gr. Meiner Ansicht geht's da nur um die (allerdings fast triviale) Tatsache, dass B/A torsionsfrei ist, wenn A die Torsionsuntergruppe von B ist... Das entscheidende Argument dazu kam allerdings in deinem obigem Posting nicht vor... Wie argumentiert man da genau? |
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| 04.12.2009, 21:12 | Fenio | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Erweiterung der Torsionsuntergruppe durch torsionsfreie Gr. X ist torsionsfrei wenn jedes Element außer dem neutralen unendliche Ordnung hat. Das ergibt sich ja dadurch das ich aus der ganzen abelschen Gruppe B die Elemente endlicher Ordnung "rauswerfe" (faktorisiere) oder nicht? |
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| 05.12.2009, 00:06 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Erweiterung der Torsionsuntergruppe durch torsionsfreie Gr. Das wäre mir persönlich viel zu vage...Eine "saubere" Argumentation schaut für mich anders aus, z.B. so: Sei b+A ein Element der endlichen Ordnung n in der Faktorgruppe B/A. Dann gilt n(b+A)=nb+A=A, d.h., nb liegt dann in A und hat daher eine endliche Ordnung m... Wegen m(nb)=(mn)b =0 hat dann aber auch b selbst eine endliche Ordung und liegt somit in A, woraus weiter b+A=A folgt... Das einzige Element endlicher Ordnung in der Faktorgruppe B/A ist somit sein Nullelement A, womit B/A tatsächlich torsionsfrei ist... |
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| 07.12.2009, 05:50 | Fenio | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Erweiterung der Torsionsuntergruppe durch torsionsfreie Gr. Danke, ich glaub ich habs jetzt |
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