Konvergenzradius von sinh

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04.12.2009, 18:51	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius von sinh Servus, $\begin{eqnarray} sinh(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray}$ Jetzt soll ich den Konvergenzradius bestimmen. Kann ich da einfach folgendermaßen ansetzen? $\begin{eqnarray} r=\lim_{n \to \infty} \left\| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right\| = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+3)!}{(2n+1)!} \end{eqnarray}$
04.12.2009, 19:06	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hab keine Ahnung was dein Ansatz darstellen soll, aber falls es mal das Quotientenkriterium werden sollte, dann schlag das doch noch einmal nach und überleg dir genau, was $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ist. MfG
04.12.2009, 19:16	bernd	Auf diesen Beitrag antworten »
Sofern der angegebene Grenzwert als reelle Zahl existiert oder gleich Unendlich ist, entspricht er dem Konvergenzradius. Jetzt muss man ihn nur noch berechnen.
04.12.2009, 19:18	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut, dann ist $\begin{eqnarray} a_n = \frac{1-(-1)^n}{n!} \end{eqnarray}$
04.12.2009, 19:33	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn mein erster Vorschlag geht, dann rechnet man weiter: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+3)!}{(2n+1)!} = \lim_{n \to \infty} (2n+3)(2n+2) = \infty \end{eqnarray}$
04.12.2009, 19:39	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich würde dir gerne helfen aber du hast meinen Beitrag wohl nicht mal gelesen. Du hast weder das Quotientenkriterium noch einmal nachgeschlagen noch hast du dir genau überlegt was $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ist. Ich kann dich nicht zu deinem Glück zwingen und vorsagen werde ich hier so elementare Sachen auch nicht. MfG
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04.12.2009, 19:52	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies meinen 2. Beitrag. Da steht, was $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ist, denn eine Potzenreihe schaut so aus: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} sinh(z) = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n!}z^n \end{eqnarray}$ , sieht man dass $\begin{eqnarray} z_0=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_n = \frac{1-(-1)^n}{n!} \end{eqnarray}$ Sag mir bitte, wo ich falsch liege.
04.12.2009, 20:14	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja du hast dir was zu $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ überlegt, aber du hast dir nicht das Quotientenkriterium angeschaut, folglich dir also nicht genau überlegt was $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ist. Nur weil man $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ für mehrere Sachen benutzt, meint es nicht immer das gleiche. Eine Potenzreihe sieht in der Tat so aus. HÄTTEST du dir das Quotientenkriterium noch einmal angesehen, dann HÄTTEST du bemerkt, dass es sich auf die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_n a_n \end{eqnarray}$ bezieht, womit du gerade die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n!} \end{eqnarray}$ betrachtest, was wohl kaum die Reihe ist die du haben willst. Jetzt schlag das Quotientenkriterium endlich noch einmal nach dann siehst du sofort was du falsch gemacht hast. Lass dich doch nicht dauernd darum bitten... MfG
04.12.2009, 20:28	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut, dann: $\begin{eqnarray} r=\lim_{n \to \infty} \left\| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right\| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\|z\|^{2n+1}}{(2n+1)!}}{\frac{\|z\|^{2n+3}}{(2n+3)!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+3)(2n+2)}{\|z\|^2} = \infty \end{eqnarray}$ Ich hab halt hier (http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius) nachgeschaut und bin dann davon ausgegangen, dass mit $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ immer dasselbe gemeint ist, nämlich der Koeffizient. Unten kann man sich ja mal die Herleitung anschauen. Dann hab ich halt gemeint, dass man $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ als Koeffizient verwenden kann und nicht die ganze Reihe betrachten muss.
04.12.2009, 20:40	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also das ist immer noch nicht das Quotientenkriterium (bzw. andersherum!). Das verwendet $\begin{eqnarray} \left\|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\| \le q<1 \end{eqnarray}$ . Jetzt verstehe ich aber erst deine Obsession es so zu schreiben. Ja, der Konvergenzradius ist unendlich wie du ja jetzt ausgerechnet hast. Ich persönlich fände es ja schöner beim Quotientenkriterium eine Konvergenz gegen 0 für alle z herauszufinden da dieser Konvergenzradius sowieso auf dem Quotientenkriterium aufbaut, aber was soll man machen. Damit bist du dann fertig. MfG

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